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离散时间李雅普诺夫稳定性

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作，并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性的又是时不变的类别称为离散时间LTI系统。

可以通过求解李雅普诺夫不等式来确定DT LTI系统的稳定性。

系统

离散时间系统

${\begin{aligned}x(t)_{k+1}&=A_{d}x(t)_{k},&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}}\;}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $A_{d},P$.

优化问题

以下可行性问题应该被优化

找到满足LMI约束的P。

LMI

离散时间有界实部引理

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {\bf {{S^{n}}\;}}\\{\text{Find}}\;&P>0,\\{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

结论

如果存在一个 $P\in {\bf {S^{n}}}$ 满足LMI，那么 $|\lambda _{i}(A_{d})|\leq 1,\forall i=1,2,...,n;$ 且系统的平衡点 ${\bar {x}}=0$ 是李雅普诺夫稳定的。

实现

指向CodeOcean或LMI其他在线实现的链接
MATLAB 代码

相关LMI

连续时间Lyapunov不等式 - Lyapunov不等式

外部链接

记录和验证LMI的参考文献列表。

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - 由Matthew Peet教授开设的关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - 由Ryan Caverly和James Forbes编写的LMI列表。
• 系统与控制理论中的LMI - 由Stephen Boyd编写的关于LMI的可下载书籍。