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离散时间混合 H2-H∞ 最优全状态反馈控制

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作，并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中同时具有线性性和时不变性的类别，称为离散时间 LTI 系统。

需要设计一个全状态反馈控制器 $K=K_{d}\in {R^{n_{u}*n_{x}}}$（即 $uk=K_{d}x_{k}$）以最小化闭环传递矩阵 $T11(z)$ 的 H2 范数，该矩阵是从外生输入 $w_{1,k}$ 到性能输出 $z_{1,k}$，同时确保闭环传递矩阵 $T22(z)$ 的 H∞ 范数，该矩阵是从外生输入 $w_{2,k}$ 到性能输出 $z_{2,k}$ 小于 $\gamma _{d}$.

系统

具有状态空间实现的离散时间 LTI 系统

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1,1}w_{1,k}+B_{d1,2}w_{2,k}+B_{d2}u_{k},\\{\begin{bmatrix}Z_{1,k}\\Z_{2,k}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{d1,1}\\C_{d1,2}\end{bmatrix}}x_{k}+{\begin{bmatrix}0&D_{d11,12}\\D_{d11,21}&D_{d11,22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{1,k}\\w_{2,k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}D_{d12,1}\\D_{d12,2}\end{bmatrix}}u_{k}\\y_{k}&=x_{k}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统 $(A_{d},B_{d1,1},B_{d1,2},B_{d2},C_{d1,1},C_{d1,2},D_{d11,12},D_{d11,21},D_{d11,22},,D_{d12,1},D_{d12,2}),P,F_{d}$.

优化问题

应该优化以下可行性问题。

最小化闭环传递矩阵 $T11(z)$ 的 H2 范数，同时确保闭环传递矩阵 $T22(z)$ 的 H∞ 范数小于 $\gamma _{d}$，同时遵守 LMI 约束。

LMI

通过求解 $P\in S^{n_{x}},Z\in S^{n_{w}},F_{d}\in R^{n_{u}*n_{x}}$ 和 $\mu \in R_{>0}$ 来合成离散时间混合 H2-H∞ 最优全状态反馈控制器，这些值可以使 $\mu$ 最小化，受制于 $P>0,Z>0$

LMI 公式

H∞ 范数 < $\gamma _{d}$

H2 范数 < $\mu$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&A_{d}P-B_{d2}F_{d}&B_{d1,1}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P-B_{d2}F_{d}&B_{d1,2}&0\\*&P&0&PC_{d1,2}^{T}-F_{d}^{T}D_{d12,2}^{T}\\*&*&\gamma _{d}I&D_{d11,22}^{T}\\*&*&*&\gamma _{d}I\end{bmatrix}}&>0\\{\begin{bmatrix}Z&C_{d1,1}P-D_{d12,1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0\\trace(Z)&<\mu ^{2}\end{aligned}}$

结论

通过 $K_{d}=F_{d}P^{-1}$ 可以得到 H2 最优全状态反馈控制器增益。

实现

LMI 的 CodeOcean 或其他在线实现的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间混合 H2-H∞ 最优全状态反馈控制

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• 控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 开设的有关控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的有关 LMI 的可下载书籍。