控制中的 LMI/页面/离散时间修改最小增益引理

概念

系统的输出 y(t) 通过传感器测量 F 反馈到与参考值 r(t) 的比较。然后，控制器 C 利用参考值和输出之间的误差 e（差值）来改变被控系统 P 的输入 u。如图所示。这种控制器称为闭环控制器或反馈控制器。

这被称为单输入单输出 (SISO) 控制系统；MIMO（即多输入多输出）系统，具有多个输入/输出，很常见。在这种情况下，变量通过向量而不是简单的标量值表示。对于某些分布式参数系统，向量可能是无穷维的（通常是函数）。

如果我们假设控制器 C、被控对象 P 和传感器 F 是线性和时不变的（即它们的传递函数 C(s)、P(s) 和 F(s) 不依赖于时间），那么可以使用拉普拉斯变换对上述系统进行分析。这给出以下关系

Y(s)=P(s)U(s)

U(s)=C(s)E(s)

E(s)=R(s)-F(s)Y(s).

求解 Y(s) 关于 R(s) 的表达式，得到

Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)F(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).

表达式 $H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}$ 被称为系统的闭环传递函数。分子是从 r 到 y 的前向（开环）增益，分母是 1 加上绕反馈回路的增益，即所谓的回路增益。如果 $|P(s)C(s)|\gg 1$ ，即它在每个 s 值下都有一个很大的范数，并且如果 $|F(s)|\approx 1$ ，那么 Y(s) 大致等于 R(s)，并且输出紧密跟踪参考输入。此页面提供了一个 LMI 来降低增益，以便输出紧密跟踪参考输入。

系统

考虑一个离散时间线性时不变系统， ${\mathcal {G}}:{\mathcal {l}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {l}}_{2e}$ ，其最小状态空间实现为 $({\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d},{\mathcal {D}}_{d})$ ，其中 ${\mathcal {A}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 以及 ${\mathcal {D}}_{d}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$ .

x(k+1)={\mathcal {A}}_{d}x(k)+{\mathcal {B}}_{d}u(k)

y(k)={\mathcal {C}}_{d}x(k)+{\mathcal {D}}_{d}u(k),k=0,1...

数据

矩阵 ${\mathcal {A}}_{d},{\mathcal {B}}_{d},{\mathcal {C}}_{d}$ 和 ${\mathcal {D}}_{d}$

LMI：离散时间修正最小增益引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下任何等效的充分条件下，都具有最小增益 γ。

1. 存在

P\in {\mathcal {S}}^{n},

以及 γ

\in {\mathcal {R}}_{\geq 0}

，其中

P\geq 0

使得

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}

$Proof$ . 项 $-C_{d}^{T}C_{d}$ 在离散时间最小增益引理中使矩阵不等式变得更负定。因此，

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P-C_{D}^{T}C_{D}&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}\leq {\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}+\gamma ^{2}I-(D_{d}^{T}+D_{d})\end{bmatrix}}

2. 存在

P\in {\mathcal {S}}^{n},

和

\gamma \in {\mathcal {R}}_{\geq 0}

其中

P\geq 0

使得

{\begin{bmatrix}A_{d}^{T}PA_{d}-P&A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d}&0\\(A_{d}^{T}PB_{d}-C_{d}^{T}D_{d})^{T}&B_{d}^{T}PB_{d}-(D_{d}^{T}+D_{d})&\gamma I\\0&\gamma I&I\end{bmatrix}}\leq 0.

$proof$ : 将舒尔补引理应用于方程1中的γ²项，得到方程2。

结论

如果系统 ${\mathcal {G}}$ 存在一个正定的 $P$ ，则系统的最小增益γ可以从上述定义的LMI中获得。

实现

使用MATLAB实现此LMI的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

参考文献

1. J. C. Willems，“耗散动力系统——第一部分：一般理论”，理性力学和分析档案，第 45 卷，第 5 期，第 321–351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非线性耗散系统的稳定性”，IEEE 自动控制学报，第 21 卷，第 5 期，第 708–711 页，1976 年。
3. 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质及应用，作者：Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov 引理。在：耗散系统分析与控制。通信与控制工程。施普林格，伦敦

概念

系统

数据

LMI：离散时间修正最小增益引理

结论

实现

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参考文献