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系统的耗散性

系统的耗散性与其供给函数相关。一般来说，如果线性系统的供给函数的累积和（积分）在$T\geq 0$ 的整个持续时间内都是非负的，则该系统是耗散的。

系统

如下所示的线性系统的状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是系统的状态、输出和输入向量。A、B、C 和 D 是相应维度的系统系数矩阵。控制输入 u 被限制为定义在$[0,\infty )$ 上的分段连续向量函数。

此类系统的传递函数可以计算为

${\begin{aligned}G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\end{aligned}}$

对于这样的系统，一般二次供给函数定义为

${\begin{aligned}s(u,y)&={\begin{bmatrix}y&u\end{bmatrix}}Q{\begin{bmatrix}y\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 Q 是 (m+r) 维的实对称矩阵。Q 不必是正定或负定的。

数据

需要知道状态数 n、输出数 m 和控制输入数 r。此外，还需要知道系统矩阵 A、B、C、D。系统也应该是可控的。

可行性LMI

定义的系统$G(s)$可以被评估为关于供应函数$s(u,y)$的耗散的，当且仅当存在$P\geq 0$和一个$Q$（定义$s(u,y)$），使得以下条件可行。

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P,Q:\\&P\geq 0\\{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB\\B^{\top }P&0\end{bmatrix}}&-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{\top }Q{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}\leq 0.\end{aligned}}$

结论

如果上述LMI存在可行解，则存在一个供应函数$s(u,y)$，对于该供应函数，系统$G(s)$是耗散的。由于系统可控性是其耗散性的必要条件，因此此检查可用作检查线性系统可控性的充分条件，就像李雅普诺夫稳定性的可行性一样。

实现

要解决可行性LMI，需要YALMIP工具箱来建立可行性问题，并且需要SeDuMi来解决该问题。以下链接展示了一个可行性问题的示例

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Dissipativity_example.m

相关LMI

连续时间李雅普诺夫不等式

外部链接

记录和验证LMI的一系列参考文献。

• 控制系统中的LMI：分析、设计与应用 - 由段广仁和于海华著，CRC出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013年，第6.3节，第178-184页。