控制中的 LMI/页面/椭圆不等式

介绍

单纯形算法是第一个为线性规划提出的算法，尽管该算法在实践中相当快，但没有已知的变体是多项式时间。椭球算法是第一个发现的用于线性规划的多项式时间算法。椭球算法由俄罗斯数学家 Shor 于 1977 年为一般凸优化问题提出，并由 Khachyan 于 1979 年应用于线性规划。

椭圆不等式约束是一种李雅普诺夫函数。它们在过程识别、参数估计和统计学中很重要。应用包括结晶过程、聚合物薄膜挤出和造纸机。

数据

不等式的公式取决于椭球的坐标 $(x_{i})$ 和椭球的中心 $(x_{c})$.

椭圆不等式

椭球由以下公式描述

${\begin{aligned}\ (x-x_{c})^{T}P^{-1}(x-x_{c})<1,\\\ where,P=P^{T}>0\\\end{aligned}}$

它可以使用 Schur 补余引理用 $Q(x)=1,R(x)=P,andS(x)=(x-x_{c})^{T}:$ 表达为 LMI。
${\begin{bmatrix}1&&(x-x_{c})^{T}\\(x-x_{c})&&P\end{bmatrix}}$ ${\begin{aligned}>=0\end{aligned}}$

结论

使用这个不等式，随着算法推进到下一步；如果 P 的值是正的；体积会不断缩小，直到 LMI 满足。

实现

• https://github.com/Margav06/LMI-for-Ellipsoidal-Inequality

外部链接

一个记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• https://web.mit.edu/braatzgroup/33_A_tutorial_on_linear_and_bilinear_matrix_inequalities.pdf

• http://www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/ellipsoid.pdf

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