控制中的LMI/页面/仿射参数变化系统的熵界

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}(\theta )x(t)+D_{zw}(\theta )w(t),\end{aligned}}$

其中$C_{z}$ 和 $D_{zw}$ 随参数 $\theta \in \mathbb {R} ^{p}$ 仿射变化。

数据

矩阵 $A,B_{w},C_{z}(.),D_{zw}(.)$。

优化问题

求解以下半定规划

${\begin{aligned}&\min _{\{P\succ 0,\gamma ^{2},\lambda ,\theta \}}\gamma ^{2}\\&\quad s.t.\quad D_{zw}(\theta )=0,{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB_{w}&C_{z}(\theta )^{\top }\\B_{w}^{\top }P&-\gamma ^{2}I&0\\C_{z}(\theta )&0&-I\end{bmatrix}}\preceq 0,\quad {\rm {{Tr}(B_{w}^{\top }PB_{w})\leq \lambda .}}\end{aligned}}$

实现

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/commit/02f31a2d7a22b2464dfe9212eb76409bda9439b1

结论

上述半定规划的值函数返回了系统$\gamma$-熵的一个界，其定义为

${\begin{aligned}I_{\gamma }(H_{\theta })\triangleq {\begin{cases}{\frac {-\gamma ^{2}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\log \det(I-\gamma ^{2}H_{\theta }(i\omega )H_{\theta }(i\omega )^{*})d\omega ,\quad {\text{if}}\ \|H_{\theta }\|_{\infty }<\gamma \\\infty ,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}$

备注

当其为有限值时，$I_{\gamma }(H_{\theta })$ 由 ${\rm {{Tr}(B_{w}^{\top }PB_{w})}}$ 给出，其中 $P$ 是一个非对称矩阵，在所有Riccati方程解中具有最小的最大奇异值。

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - 马修·皮特教授关于控制中的LMI课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质与应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯编制的LMI列表。
• 系统与控制理论中的LMI - 斯蒂芬·博伊德教授关于LMI的可下载书籍。