控制中的 LMI/pages/矩阵和 LMI 基础

正性符号

对称矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定义为

半正定，$(A\geq 0)$，如果 $x^{T}Ax\geq 0$ 对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

正定，$(A>0)$，如果 $x^{T}Ax>0$ 对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$ 成立。

半负定，$(-A\geq 0)$。

负定，$(-A>0)$。

不定，如果 $A$ 既不是半正定也不是半负定。

正定矩阵的性质

• 对于任何矩阵 $M$，$M^{T}M>0$。
• 正定矩阵是可逆的，其逆矩阵也是正定的。
• 正定矩阵 $A>0$ 有一个平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$。
• 对于正定矩阵 $A>0$ 和可逆矩阵 $M$，$M^{T}AM>0$。
• 如果 $A>0$ 且 $M>0$，则 $A+M>0$。
• 如果 $A>0$，则对于任何标量 $\mu >0$，都有 $\mu A>0$。

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的 LMI 控制课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。