控制中的 LMI/页面/广义 KYP 引理 锥形扇区

概念

锥形扇区定理是一个强大的输入输出稳定性分析工具，它在系统特征的普遍性和简单性之间取得了很好的平衡，有利于实际稳定性分析和鲁棒控制器合成。

系统

考虑一个平方、连续时间线性时不变 (LTI) 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小的状态空间实现 (A, B, C, D)，其中 ${\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

同样地，考虑$\pi _{c}(a,b)\in {\mathcal {S}}^{m}$，它定义为

$\pi _{c}(a,b)={\begin{bmatrix}-{\tfrac {1}{b}}I&{\tfrac {1}{2}}(1+{\tfrac {a}{b}})I\\({\tfrac {1}{2}}(1+{\tfrac {a}{b}})I)^{T}&-aI\end{bmatrix}}$,

其中 $a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$.

数据

矩阵 $A,B,C$ 和 $D$。a 和 b 的值

LMI : 广义 KYP (GKYP) 引理用于锥形扇区

以下广义 KYP 引理给出了${\mathcal {G}}$ 在有限频率带宽内位于锥体 $[a,b]$ 内部的条件。

1. (低频范围) 系统 ${\mathcal {G}}$ 在所有 $\omega \in {\omega \in {\mathcal {R}}||\omega |<\omega _{1},det(j\omega I-A)\neq 0}$ 内位于锥体 $[a,b]$ 内部，其中 $\omega _{1}\in {\mathcal {R}}_{>0},a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$，如果存在 $P,Q\in {\mathcal {S}}^{n}$ 和 ${\overline {\omega }}_{1}\in {\mathcal {R}}_{>0}$，其中 $Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}-Q&P\\P^{T}&(\omega _{1}-{\overline {\omega }}_{1})^{2}Q\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{T}\pi _{c}(a,b){\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}<0$.

如果 $\omega _{1}\rightarrow \infty ,P>0.$ 且 Q = 0，则可以恢复传统的圆锥扇区引理。参数 ${\overline {\omega }}_{1}$ 包含在上面的 LMI 中，有效地将 $|\omega |\leq (\omega _{1}-{\overline {\omega }}_{1})$ 转换为严格不等式 $|\omega |<\omega _{1}$

2. (中频范围) 系统 ${\mathcal {G}}$ 在锥形区域 $[a,b]$ 内，对于所有 $\omega \in {\omega \in {\mathcal {R}}|\omega _{1}\leq |\omega |<\omega _{2},det(j\omega I-A)\neq 0}$ 都成立，其中 $\omega _{1},\omega _{2}\in {\mathcal {R}}_{>0},a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$，如果存在 $P,Q\in {\mathcal {C}}^{n}$ 和 ${\overline {\omega }}_{2}\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 以及 ${\hat {\omega }}_{2}=(\omega _{1}+{\tfrac {(\omega _{2}-{\hat {\omega }}_{2})}{2}}),$ 其中 $P^{H}=P,Q^{H}=Q$ 且 $Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}-Q&P+{\mathcal {j{\hat {\omega }}_{2}}}Q\\P-{\mathcal {j{\hat {\omega }}_{2}}}Q&\omega _{1}(\omega _{2}-{\hat {\omega }}-2)Q\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{T}\pi _{c}(a,b){\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}<0$.

参数 ${\overline {\omega }}_{2}$ 包含在上面的 LMI 中，有效地将 $\omega _{1}\leq |\omega |\leq (\omega _{2}-{\overline {\omega }}_{2})$ 转化为严格不等式 $\omega _{1}\leq |\omega |<\omega _{2}$。

3. (高频范围) 系统 ${\mathcal {G}}$ 位于锥体 $[a,b]$ 内，对于所有 $\omega \in {\omega \in {\mathcal {R}}|\omega _{2}<|\omega |,det(j\omega I-A)\neq 0}$，其中 $\omega _{2}\in {\mathcal {R}}_{>0},a\in {\mathcal {R}},b\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $a<b$，如果存在 $P,Q\in {\mathcal {S}}^{n}$，其中 $Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}-Q&P\\P^{T}&\omega _{2}^{2}Q\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\I&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}^{T}\pi _{c}(a,b){\begin{bmatrix}C&D\\0&I\end{bmatrix}}<0$.

如果 (A, B, C, D) 是一个最小实现，那么上面所有 LMI 中的矩阵不等式都可以是非严格的。

结论

如果存在一个正定的 $q$ 矩阵，满足给定频率带宽的上述 LMI，则系统 ${\mathcal {G}}$ 位于锥体 [a,b] 内。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

相关 LMI

KYP 引理
状态空间稳定性
外部圆锥扇区引理
修改后的外部圆锥扇区引理

参考文献

1. J. C. Willems，"耗散动力系统 - 第一部分：一般理论"，理性力学与分析档案，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，"非线性耗散系统的稳定性"，IEEE 自动控制交易，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 页，1976 年。
3. 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用，作者 Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2
4. Bridgeman, Leila Jasmine 和 James Richard Forbes。“外部圆锥扇区引理”。国际控制杂志 88.11 (2015): 2250-2263。