控制中的 LMI/pages/广义李雅普诺夫定理

WIP，描述正在进行中

该定理可以被视为对众所周知的连续时间和离散时间李雅普诺夫定理的真正本质推广。

克罗内克积

一对矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ 和 $B\in \mathbb {R} ^{p\times q}$ 的克罗内克积定义如下

$A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots &a_{2n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{mp\times nq}$.

引理 1：克罗内克积的操作规则

令 $A,B,C$ 是具有适当维度的矩阵。那么，克罗内克积具有以下性质

• $1\otimes A=A$;
• $(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$
• $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$
• $(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}$
• $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$
• $\lambda (A\otimes B)={\lambda _{i}(A)\lambda _{j}{B}}$

定理

从克罗内克积的角度来看，以下定理给出了$\mathbb {D}$稳定条件对于一般 LMI 区域情况的结论：令$\mathbb {D} =\mathbb {D} _{L,M}$ 为一个 LMI 区域，其特征函数为

$F_{\mathbb {D} }=L+sM+{\overline {s}}M^{T}$

那么，一个矩阵$A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是 $\mathbb{D}_{L,M}$ 稳定的，当且仅当存在对称正定矩阵$P$ 使得

$R_{\mathbb {D} }(A,P)=L\otimes P+M\otimes (AP)+M^{T}\otimes (AP)^{T}<0$,

其中$\otimes$ 表示克罗内克积。

引理 2

给定两个 LMI 区域 $\mathbb {D} _{1}$ 和 $\mathbb {D} _{2}$，矩阵 $A$ 同时是 $\mathbb {D} _{1}$-稳定和 $\mathbb {D} _{2}$-稳定，如果存在正定矩阵 $P$，使得 $R_{\mathbb {D} _{1}}(A,P)<0$ 和 $R_{\mathbb {D} _{2}}(A,P)<0$.

${\displaystyle }$ 待补充，需要添加更多参考资料

外部链接

列出记录和验证 LMI 的参考文档。