控制中的LMI/页面/H2-OSE

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稳定系统H的H2范数是系统冲激响应的均方根。H2范数衡量了单位噪声输入对输出响应的稳态协方差（或功率）。在本模块中，H₂最优状态估计的目标是设计一个观测器，使闭环传递矩阵的H₂范数最小

系统

考虑连续时间广义系统P具有状态空间实现

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)&x(0)=x_{0}\\y(t)&=C_{1}x(t)+D_{1}u(t)+D_{2}w(t)\\&z(t)=C_{2}x(t)\end{aligned}}

假设（A,C₂）是可检测的。形式为

数据

$x$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ⁿ, $y$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^l, $z$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^m分别是状态向量、测量的

输出向量，以及感兴趣的输出向量

$w$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^p和 $u$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^r分别是扰动向量和控制向量，

分别

A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁, 和 D₂ 是系统的系数矩阵，

具有适当的维数。

优化问题

给定系统和一个正标量 $\gamma$ 我们必须找到矩阵 L 使得

|| $G_{zw}(s)$ ||₂ < $\gamma$

形式为

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+(Ly-Ly)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)\\{\dot {x}}(t)=(A+LC_{1})x(t)-Ly+(B_{1}+LD_{1})u(t)\\+(B_{2}+LD_{2})w(t)\end{aligned}}

需要设计，其中 L 是观测器增益。
定义误差状态为
$e=x-{\hat {x}}$
发现断裂动力学为

{\begin{aligned}{\dot {e}}=(A+LC_{1})e+(B_{2}+LD_{2})w\\{\bar {z}}(t)=C_{2}e\end{aligned}}

对于该系统，我们以以下形式引入一个完全状态观测器
${\dot {\hat {x}}}=(A+LC_{1}){\hat {x}}-Ly+(B_{1}+LD_{1})u$ ${\hat {x}},L$ 分别是观测向量和观测器增益。
这种情况下的传递函数是
$G_{zw}(s)=C_{2}(sI-A-LC_{1})^{-1}(B_{2}+LD_{2})$
因此， $H_{2}$ 状态观测器设计问题就是找到这样的 L，使得
|| $G_{zs}(s)||_{2}<\gamma$

LMI：H₂ 观测器估计的 LMI

H₂ 状态观测器问题有解当且仅当存在矩阵 $W$ ，对称矩阵 $Q$ 和对称矩阵 $X$ 使得

{\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{aligned}trace(Q)<\gamma ^{2}\end{aligned}}

通过上述 LMI 的解，我们可以得到观测器矩阵为

L=X^{-1}W

结论

因此，通过公式化，我们将 H₂ 状态观测器设计问题转化为一个 LMI 可行性问题，通过优化上述 LMI 来实现。在应用中，我们通常关注寻找最小衰减水平 $\gamma$

在使用 YALMIP 和 MOSEK（或）SeDuMi 对上述 LMI 进行实现和优化时，我们会得到 3 个矩阵作为输出， $X,WandQ$ ，以及 $\rho$ ，它用于计算 $\gamma$ ，即系统的 H₂ 范数。