控制中的 LMI /pages/H2SO

控制中的 LMI/pages/H2SO 我们处理为下面提到的系统设计一个全阶状态观测器的问题。其目的是减轻扰动 $w(t)$ 对估计误差的影响，并将其抑制在所需水平。

系统

考虑连续时间广义系统P具有状态空间实现

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)&x(0)=x_{0}\\y(t)&=C_{1}x(t)+D_{1}u(t)+D_{2}w(t)\\&z(t)=C_{2}x(t)\end{aligned}}

其中假设 $(A,C_{2})$ 是可检测的。一个形式为

数据

$x$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ⁿ, $y$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^l, $z$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^m分别是状态向量、测量

输出向量以及感兴趣的输出向量

$w$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^p以及 $u$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {R} \end{aligned}}$ ^r分别是扰动向量和控制向量。

分别

A, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁ 和 D₂ 是系统的系数矩阵

适当的维度

优化问题

对于该系统，我们以如下形式引入一个全状态观测器
${\dot {\hat {x}}}=(A+LC_{1}){\hat {x}}-Ly+(B_{1}+LD_{1})u$ ${\hat {x}},L$ 分别是观测向量和观测器增益。
此情况下的传递函数为
$G_{zw}(s)=C_{2}(sI-A-LC_{1})^{-1}(B_{2}+LD_{2})$
因此， $H_{2}$ 状态观测器设计的目标是找到满足以下条件的 L：
|| $G_{zs}(s)||_{2}<\gamma$
误差 : $e=x-{\hat {x}}$

LMI：H₂ 状态观测器设计 LMI

H₂ 状态观测器问题有解当且仅当存在矩阵 $W$ ，对称矩阵 $Q$ 和对称矩阵 $X$ 使得

{\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

{\begin{aligned}trace(Q)<\gamma ^{2}\end{aligned}}

根据上述 LMI 的解，我们可以得到观测器矩阵：

L=X^{-1}W

结论

因此，通过公式化，我们将 H₂ 状态观测器设计问题转化为了 LMI 可行性问题，并通过优化上述 LMI 来实现。在应用中，我们通常关心的是寻找最小衰减水平 $\gamma$

使用 YALMIP 和 MOSEK (或) SeDuMi 对上述 LMI 进行实现和优化，我们可以得到 3 个矩阵作为输出： $X,WandQ$ ，以及 $\rho$ ，用于计算 $\gamma$ ，即系统的 H₂ 范数。