控制中的 LMI/pages/仿射参数变化系统的汉克尔范数

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}(\theta )x(t)+D_{zw}(\theta )w(t),\end{aligned}}

其中 $C_{z}$ 和 $D_{zw}$ 随参数 $\theta \in \mathbb {R} ^{p}$ 仿射变化。

矩阵 $A,B_{w},C_{z}(.),D_{zw}(.)$ 。

求解以下半定规划问题

{\begin{aligned}&\min _{\{Q\succeq 0,\gamma ^{2},\theta \}}\gamma ^{2}\\&\quad s.t.\quad D_{zw}(\theta )=0,\quad A^{\top }Q+QA+C_{z}(\theta )C_{z}(\theta )\preceq 0,\quad \gamma ^{2}I-W_{c}^{1/2}QW_{c}^{1/2}\succeq 0,\end{aligned}}

其中 $W_{c}$ 是可控性格拉姆矩阵，即 $W_{c}\triangleq \int _{0}^{\infty }e^{At}B_{w}B_{w}^{\top }e^{A^{\top }t}dt$ .

Hanakel 范数（即最大特征值的平方根）为 $H_{\theta }$ 小于 ${\gamma }$ 当且仅当上述 LMI 成立，且值函数返回可证明的最大 Hanakel 范数。

$D_{zw}$ 假设为零。