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H 无穷优化滤波器

优化滤波器的目标是设计一个滤波器，该滤波器作用于广义系统的输出 ${\mathbf {z}}$ 并优化从 ${\mathbf {w}}$ 到滤波输出的传递矩阵。

系统

考虑具有最小状态空间表示的连续时间广义 LTI 系统

${\mathbf {\dot {x}}}={\mathbf {Ax}}+{\mathbf {B}}_{1}{\mathbf {w}},$

${\mathbf {z}}={\mathbf {C}}_{1}{\mathbf {x}}+{\mathbf {D}}_{11}{\mathbf {w}},$

${\mathbf {y}}={\mathbf {C}}_{2}{\mathbf {x}}+{\mathbf {D}}_{21}{\mathbf {w}},$

其中假设 ${\mathbf {A}}$ 是 Hurwitz。一个具有状态空间表示的连续时间动态 LTI 滤波器

${\mathbf {\dot {x}}}_{f}={\mathbf {A}}_{f}{\mathbf {x}}_{f}+{\mathbf {B}}_{f}{\mathbf {y}},$

${\mathbf {\hat {z}}}={\mathbf {C}}_{f}{\mathbf {x}}_{f}+{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {y}},$

被设计用来优化从 ${\mathbf {w}}$ 到 ${\mathbf {\tilde {z}}}={\mathbf {z}}-{\mathbf {\hat {z}}}$ 的传递函数，它由以下给出

${\tilde {\mathbf {P}}}(s)={\tilde {\mathbf {C}}}_{1}(s{\mathbf {I}}-{\tilde {\mathbf {A}}})^{-1}{\tilde {\mathbf {B}}}_{1}+{\tilde {\mathbf {D}}}_{11},$

其中

${\tilde {\mathbf {A}}}={\begin{bmatrix}{\mathbf {A}}&{\mathbf {0}}\\{\mathbf {B}}_{f}{\mathbf {C}}_{2}&{\mathbf {A}}_{f}\end{bmatrix}},$

${\tilde {\mathbf {B}}}_{1}={\begin{bmatrix}{\mathbf {B}}_{1}\\{\mathbf {B}}_{f}{\mathbf {D}}_{21}\end{bmatrix}},$

${\tilde {\mathbf {C}}}_{1}={\begin{bmatrix}{\mathbf {C}}_{1}-{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {C}}_{2}&-{\mathbf {C}}_{f}\end{bmatrix}},$

${\tilde {\mathbf {D}}}_{11}={\mathbf {D}}_{11}-{\mathbf {D}}_{f}{\mathbf {D}}_{21}.$

最优滤波旨在最小化传递函数 ${\tilde {\mathbf {P}}}(s).$ 的给定范数。

滤波器合成

求解 ${\mathbf {A}}_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},{\mathbf {B}}_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},{\mathbf {C}}_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{z}\times n_{x}},{\mathbf {D}}_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{z}\times n_{y}},{\mathbf {X,Y}}\in \S ^{n_{x}},$ 和 $\gamma \in \mathbb {R} _{>0}$ ，使目标函数 $J(\gamma )=\gamma$ 最小化，受制于

${\mathbf {X,Y}}>0,$

${\mathbf {Y}}-{\mathbf {X}}>0,$

${\begin{bmatrix}{\mathbf {YA}}+{\mathbf {A}}^{T}{\mathbf {Y}}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {C}}_{2}+{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}&{\mathbf {A}}_{n}+{\mathbf {C}}_{2}^{T}{\mathbf {B}}_{n}^{T}+{\mathbf {A}}^{T}{\mathbf {X}}&{\mathbf {YB}}_{1}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {D}}_{21}\\*&{\mathbf {A}}_{n}+{\mathbf {A}}_{n}^{T}&{\mathbf {XB}}_{1}+{\mathbf {B}}_{n}{\mathbf {D}}_{21}\\*&*&-{\mathbf {I}}\end{bmatrix}}<0.$