控制中的 LMI/页面/H 无穷大 输出最优控制

$H_{\infty }$ 具有瞬态的系统的最优输出可控性

此 LMI 提供了一个 $H_{\infty }$ 最优输出可控性问题，以检查具有未知外生扰动和初始条件的系统是否存在这样的控制器。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}v+B_{2}u,x(0)=x_{0},\\z&=C_{1}x+D_{11}v+D_{12}u,\\y&=C_{2}x+D_{21}v,\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$v\in \mathbb {R} ^{r}$ 是外生输入，$u\in \mathbb {R} ^{m}$ 是控制输入，$y\in \mathbb {R} ^{p}$ 是测量的输出，而 $z\in \mathbb {R} ^{s}$ 是被控输出。

数据

需要已知系统矩阵 $(A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12},D_{21},D_{22})$。假设 $v\in L_{2}[0,\infty )$。$N_{1},N_{2}$ 是矩阵，它们的列构成 $C_{2}D_{21}$ 和 $C_{2}D_{12}$ 核的基。

优化问题

对于给定的 $\gamma$，需要满足以下 $H_{\infty }$ 条件

$\gamma _{w}=sup_{\|v\|_{\infty }^{2}+x_{0}^{\top }Rx_{0}\neq 0}{\frac {\|z\|_{\infty }}{(\|v\|_{\infty }^{2}+x_{0}^{\top }Rx_{0})^{1/2}}}<\gamma _{w},$

LMI: $H_{\infty }$ 输出反馈控制器，用于具有瞬态的系统

${\begin{aligned}&{\text{min}}_{\gamma ,X_{11},Y_{11}}:\gamma \\&{\text{subj. to: }}X_{11}>0,Y_{11}>0,\\&\quad {\begin{bmatrix}N_{1}&0\\0&I\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}A^{\top }X_{11}+X_{11}A&X_{11}B_{1}&C_{1}^{\top }\\*&-\gamma ^{2}I&D_{11}^{\top }\\*&*&-I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}N_{1}&0\\0&I\end{bmatrix}}<0,\\&\quad {\begin{bmatrix}N_{2}&0\\0&I\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}AY_{11}+Y_{11}A^{\top }&Y_{11}C_{1}^{\top }&B_{1}\\*&-I&D_{11}\\*&*&-\gamma ^{2}I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}N_{2}&0\\0&I\end{bmatrix}}<0,\\&\quad {\begin{bmatrix}X_{11}&I\\I&Y_{11}\end{bmatrix}}\geq 0,X_{11}<\gamma ^{2}R,\end{aligned}}$

结论

上述 LMI 的解可以检验是否有存在 $H_{\infty }$ 针对具有瞬态系统的最优输出控制器。

实现

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外部链接

• 基于 LMI 的 $H_{\infty }$ - 具有瞬态的最优控制 指向原始文章的链接。