控制中的 LMI/pages/Hinfinityoptimalfilter

最优滤波是一种在噪声和干扰信号存在的情况下自适应地提取弱期望信号的方法。最优滤波的目标是设计一个滤波器，该滤波器作用于广义系统的输出 $z$，并优化从 w 到滤波输出的传递矩阵。

系统

考虑具有最小状态空间实现的连续时间广义 LTI 系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}w\\z&=C_{1}x+D_{11}w,\\y&=C_{2}x+D_{21}w,\end{aligned}}$

假设 $A$ 是 Hurwitz。

数据

作为输入所需的矩阵是 $A,B_{1},C_{2},C_{1},,D_{11},D_{21}$.

优化问题

一个 $H\infty$-最优滤波器旨在最小化 $H_{\infty }$ 范数 ${\tilde {P}}(s)$ 在以下等式中。

${\begin{aligned}{\tilde {P}}(s)={\tilde {C}}_{1}(sI-{\tilde {A}})^{-}1{\tilde {B}}_{1}+{\tilde {D}}_{11},\\{\text{where}}\\{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&&0\\B_{f}C_{2}&&A_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {B}}_{1}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{f}D_{21}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {C}}_{1}={\begin{bmatrix}C_{1}-D_{f}C_{2}-C_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}D_{21}\\\end{aligned}}$

LMI: $H_{\infty }$- 最优滤波器

求解 $A_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},B_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},C_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}}$，$X,Y\in \mathbb {S} ^{n_{x}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$， 使得 $\zeta (\nu )=\nu$ 在 $X>0,Y>0$ 的条件下被最小化。

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}YA+A^{T}Y+B_{n}C_{2}&&A_{n}+C_{2}^{T}B_{n}^{T}+A^{T}X&&YB_{1}+B_{n}D_{21}&&{C_{1}}^{T}-{C_{2}}^{T}{D_{f}}^{T}\\\star &&A_{n}+A_{n}^{T}&&XB_{1}+B_{n}D_{21}&&-{C_{f}}^{T}\\\star &&\star &&-\gamma I&&{D_{1}1}^{T}-{D_{2}1}^{T}{D_{f}}^{T}\\\star &&\star &&\star &&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0\\\\Y-X>0\\\end{aligned}}$

结论

滤波器由 $A_{f}=X^{-1}A_{n}$ 和 $B_{f}=X^{-1}B_{n}$ 恢复。

实施

• https://github.com/Ricky-10/coding107/blob/master/Hinfinity%20Optimal%20filter- $H\infty$- 最优滤波器

外部链接

• [1]- 最优滤波
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。