控制中的LMI/页面/最优控制的逆问题

控制中的LMI/页面/最优控制的逆问题

在某些情况下，需要在LQR框架内解决最优控制的逆问题。在这个逆问题中，需要通过确保给定的控制器矩阵是某个可控且可检测的LQR优化问题的最优解来验证该控制器矩阵是否适用于该系统。换句话说：在这个逆问题中，控制器是已知的，需要计算LQR增益矩阵，以使控制器成为最优解。

系统

该系统是一个线性时不变系统，可以用如下所示的状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu,\\z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中，$x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分别代表状态向量、测量输出向量和感兴趣的输出向量，$w\in R^{p}$ 是扰动向量，$A,B,C,Q,R$ 是适当维度的系统矩阵。进一步定义：$x$ 是 $\in R^{n}$ 且为状态向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 且为状态矩阵，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 且为输入矩阵，$w$ 是 $\in R^{r}$ 且为外生输入，$C,Q,R$ 是 $\in R^{m*n}$ 且为输出矩阵，$y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 且分别为输出和感兴趣的输出。

数据

定义系统的矩阵 $A,B,C$ 以及给定的控制器 $K$，需要针对其解决逆问题。

优化问题

在这个 LMI 中，对于给定的控制器 K，需要通过寻找最优输入来最小化以下成本函数

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }z^{T}zdt\end{aligned}}$

该问题的解可以表述为一个状态反馈控制器，其表达式为

${\begin{aligned}K&=-R^{-1}B^{T}P,\\A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q&=0\end{aligned}}$

LMI： 最优控制的逆问题

最优控制的逆问题如下：给定矩阵 $K$，确定是否存在 $Q\geq 0$ 和 $R>0$，使得 $(Q,A)$ 是可检测的，并且 $u=Kx$ 是相应 LQR 问题的最优控制。等效地，我们要寻找 $R>0$ 和 $Q\geq 0$，使得存在非负的 $P$ 和正定的 $P_{1}$ 满足

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}P+P(A+BK)+K^{T}RK+Q&=0\\B^{T}P+RK&=0\\A^{T}P_{1}+P_{1}A&<Q\end{aligned}}$

结论

如果解存在，那么 $K$ 是矩阵 $Q$ 和 $R$ 上LQR优化的最优控制器。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/inverseprob.m

相关 LMI

1. 多标准 LQG]

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制中的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。