控制中的 LMI/pages/KYP 引理 QSR

概念

在系统理论中，耗散性概念首先由 Willems 引入，它用输入-输出特性来描述动态系统。考虑一个由其状态 $x(t)$、输入 $u(t)$ 和输出 $y(t)$ 描述的动态系统，输入-输出相关性给出了一个供应速率 $w(u(t),y(t))$。如果存在一个连续可微的存储函数 $V(x(t))$ 使得 $V(0)=0$，$V(x(t))\geq 0$ 且

${\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))$

作为耗散性的一个特例，如果上述耗散性不等式相对于被动性供应速率 $w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)$ 成立，则称该系统是被动的。

物理解释是 $V(x)$ 是储存在系统中的能量，而 $w(u(t),y(t))$ 是供应给系统的能量。

这种概念与李雅普诺夫稳定性有密切联系，在动态系统可控性和可观测性的某些条件下，存储函数可以起到李雅普诺夫函数的作用。

简而言之，耗散性理论可用于设计线性系统和非线性系统的反馈控制律。耗散系统理论已被 Vasile M. Popov、Jan Camiel Willems、D.J. Hill 和 P. Moylan 讨论过。对于线性不变系统，这被称为正实传递函数，一个基本工具是所谓的 Kalman-Yakubovich-Popov 引理，它将正实系统的状态空间和频域特性联系起来。耗散系统由于其重要的应用，仍然是系统和控制研究中的一个活跃领域。

系统

考虑一个连续时间 LTI 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小的状态空间实现 **(A, B, C, D)**，其中 ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

数据

矩阵 $A,B,C$ 和 $D$ 定义了系统的状态空间

优化问题

系统 ${\mathcal {G}}$ 是 **QSR** 耗散的，如果

$\int _{0}^{T}(y^{T}(t)Qy(t)+2y^{T}Su(t)+u^{T}(t)Ru(t))\,dt\geq 0,\forall u\in {\mathcal {L}}_{2e},\forall T\geq 0$

其中 $u(t)$ 是 ${\mathcal {G}},y(t)$ 的输出，${\mathcal {G}},Q\in {\mathcal {S}}^{p},S\in {\mathcal {R}}^{p\times m},$ 和 ${\mathcal {R}}\in {\mathcal {S}}^{m}$。

LMI: QSR 耗散系统的 KYP 引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 也是QSR耗散的当且仅当存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $P>0,$ 使得

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}QC&PB-C^{T}S-C^{T}QD\\(PB-C^{T}S-C^{T}QD)^{T}&-D^{T}QD-(D^{T}S+S^{T}D)-R\end{bmatrix}}\leq 0.$

结论

如果对于选定的Q,S和R矩阵，存在一个正定的 $P$，那么系统 ${\mathcal {G}}$ 是QSR耗散的。

实现

使用MATLAB实现此LMI的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

相关LMI

KYP引理

参考文献

1. J. C. Willems，“耗散动力系统 - 第一部分：一般理论”，《合理力学与分析档案》，第 45 卷，第 5 期，第 321–351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非线性耗散系统的稳定性”，《IEEE 自动控制学报》，第 21 卷，第 5 期，第 708–711 页，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 著，《系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用》