控制中的 LMI/pages/描述系统 KYP 引理

概念

描述系统描述通常出现在解决标准线性系统分析和设计中的计算问题时。许多标准控制问题的数值可靠解，例如 Riccati 方程的解、系统零点的计算、故障检测和隔离滤波器 (FDI) 的设计等，都依赖于使用描述系统技术。

许多针对标准系统的算法，例如稳定化技术、因式分解方法、最小实现、模型降阶等，都已扩展到更一般的描述系统描述。这些算法的一个重要应用是通过等效描述表示对有理矩阵和多项式矩阵进行数值可靠计算。回想一下，每个有理矩阵 R(s) 可以被看作是连续或离散时间描述系统的传递函数矩阵。因此，每个 R(s) 可以等效地由一个描述系统四元组 (A-sE, B, C, D) 实现，满足 R(S)= C(SE-A)^-1B+D

许多针对标准矩阵的操作（例如，求秩、行列式、逆或广义逆），或者线性矩阵方程的求解，也可以使用描述系统技术对有理矩阵进行。描述技术的其他重要应用是多项式矩阵和有理矩阵的内外因式分解和谱因式分解，或最小度和规范互素因式分解。更多解释可以在 系统动力学与控制研究所 网站上找到。

系统

考虑一个平方连续时间线性时不变 (LTI) 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，其最小状态空间实现为 (E, A, B, C, D)，其中 ${\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

${\begin{aligned}E{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

数据

矩阵 $E,A,B,C$ 和 $D$

LMI : 描述系统的 KYP 引理

如果系统 ${\mathcal {G}}$ 是扩展严格正实 (ESPR)，当且仅当存在 $X\in {\mathcal {R}}^{n\times n}$ 和 $W\in {\mathcal {R}}^{n\times m}$ 使得

$E^{T}X=X^{T}E\geq 0$

$E^{T}W=0$

${\begin{bmatrix}X^{T}A+A^{T}X&A^{T}W+X^{T}B-C^{T}\\(A^{T}W+X^{T}B-C^{T})^{T}&W^{T}B+B^{T}W-(D^{T}+D)\end{bmatrix}}<0.$

系统也为 ESPR，如果存在 ${\mathcal {X}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n}$ 使得

$E^{T}X=X^{T}E\geq 0$

${\begin{bmatrix}X^{T}A+A^{T}X&X^{T}B-C^{T}\\(X^{T}B-C^{T})^{T}&-(D^{T}+D)\end{bmatrix}}<0.$

结论

如果存在满足上述 LMI 的 X 和 W 矩阵，那么系统 ${\mathcal {G}}$ 是 **扩展严格正实** 的。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

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参考文献

1. J. C. Willems，“耗散动力系统 - 第一部分：一般理论”，理性力学与分析档案，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非线性耗散系统的稳定性”，IEEE 自动控制事务，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 页，1976 年。
3. 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用，作者：Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2
4. Brogliato B.、Maschke B.、Lozano R.、Egeland O. (2007) Kalman-Yakubovich-Popov 引理。在：耗散系统分析与控制。通信与控制工程。施普林格，伦敦
5. 描述系统分析和建模的数值算法和软件工具。捷克斯洛伐克布拉格第二届 IFAC 系统结构与控制研讨会论文集，第 392-395 页，1992 年。