控制中的LMI/页面/无馈通的KYP引理

概念

该引理假设状态空间表示 (A, B, C, D) 是极小的。然后，传递函数 C(SI − A)^-1B + D 的正实性（PR）等价于此页面中给出的 LMI 集合的可解性。现在考虑以下标量示例，其中 (A, B, C, D)=(−α, 0, 0, 1)，其中 α > 0。传递函数为 H(s) = 0，它是 PR 的。

系统

考虑一个连续时间 LTI 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，具有最小状态空间实现 (A, B, C, 0)，其中 ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},$ 和 ${\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{m\times n},$.

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)\\\end{aligned}}$

数据

矩阵 矩阵 $A,B$ 和 $C$

LMI : 无馈通的KYP引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下任意一个等效的充要条件下都是正实（PR）的。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P\geq 0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}\geq 0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

这是一个针对具有 **Q = 0，Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 消散系统的 *KYP* 引理的特例。

系统 ${\mathcal {G}}$ 在以下等效的必要充分条件中的任何一个成立时，为严格正实 (SPR)。

1. 存在 $P\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $p>0$ 使得

${\begin{aligned}PA+A^{T}P<0\\PB=C^{T}\end{aligned}}$

2. 存在 $Q\in {\mathcal {S}}^{n},$ 其中 $Q>0$ 使得

${\begin{aligned}AQ+QA^{T}<0\\B=QC^{T}\end{aligned}}$

这是一个针对具有 **Q = ε1，Q = 0.5** 和 **R = 0** 的 QSR 消散系统的 *KYP* 引理的特例。其中 ε $\in {\mathcal {R}}_{>0}.$

结论

如果对于选择的 **Q，S** 和 **R** 矩阵存在一个正定 $P$，那么系统 ${\mathcal {G}}$ 为 **正实**。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

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参考文献

1. J. C. Willems，“消散动力系统 - 第一部分：一般理论”，理性力学和分析档案，第 45 卷，第 5 期，第 321-351 页，1972 年。
2. D. J. Hill 和 P. J. Moylan，“非线性消散系统的稳定性”，IEEE 自动控制交易，第 21 卷，第 5 期，第 708-711 页，1976 年。
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 撰写的《系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用》
4. Brogliato B.，Maschke B.，Lozano R.，Egeland O. (2007) 卡尔曼-雅库博维奇-波波夫 引理。在：消散系统分析和控制。通信和控制工程。Springer，伦敦