控制中的LMI/页面/具有乘性噪声的系统的L2增益

系统

${\begin{aligned}x(k+1)&=Ax(k)+B_{w}w(k)+\sum _{i=1}^{L}(A_{i}x(k)+B_{w,i}w(k))p_{i}(k),\quad x(0)=0,\\z(k)&=C_{z}x(k)+D_{zw}w(k)+\sum _{i=1}^{L}(C_{z,i}x(k)+D_{zw,i}w(k))p_{i}(k),\end{aligned}}$

其中 $p(0),p(1),\dots$，是具有 $Ep(k)=0,Ep(k)p^{\top }(k)=\Sigma =diag(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{L})$ 的独立同分布随机变量，并且 $x(0)$ 与过程 $p$ 独立。

数据

矩阵 $A,B_{w},\{A_{i}.B_{w,i}\}_{i=1}^{L},C_{z},D_{zw},\{C_{z,i},D_{zw,i}\}_{i=1}^{L},\{\sigma _{i}\}_{i=1}^{L}$.

LMI

${\begin{aligned}&\min _{\{P\succ 0,\gamma ^{2}\}}\gamma ^{2}\\&\quad s.t.{\begin{bmatrix}A&B_{w}\\C_{z}&D_{zw}\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}P&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B_{w}\\C_{z}&D_{zw}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}P&0\\0&\gamma ^{2}I\end{bmatrix}}+\sum _{i=1}^{L}\sigma _{i}^{2}{\begin{bmatrix}A_{i}&B_{w,i}\\C_{z,i}&D_{zw,i}\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}P&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{i}&B_{w,i}\\C_{z,i}&D_{zw,i}\end{bmatrix}}^{\top }\preceq 0\end{aligned}}$

实现

https://github.com/mkhajenejad/Mohammad-Khajenejad/commit/a34713575cd8ae9831cb5b7eb759d0fd45a8c37f

结论

最优的$\gamma$ 返回了系统${\mathcal {L}}_{2}$ 增益的上界。

备注

使用缩放方法[Boyd, sec.6.3.4] 轻松获得分量级结果。

外部链接

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 特性及其应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的 LMI 可下载书籍。