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BTT导弹姿态控制的LMI，滚转通道

银行转弯（BTT）导弹的动力学模型可以为了实际应用而简化。BTT导弹的动力学模型由与非旋转导弹使用的相同模型给出。但是，在这种情况下，我们可以假设导弹是轴对称设计的，因此Jx = Jy。我们假设滚转通道独立于俯仰和偏航通道。

系统

俯仰通道的状态空间表示可以写成如下形式

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A(t)x(t)+B_{1}(t)u(t)+B_{2}(t)d(t)\\y(t)&=C(t)x(t)+D_{1}(t)u(t)+D_{2}(t)d(t)\end{aligned}}$

其中 $x(t)=[\omega _{x}\quad \phi ]^{\text{T}}$ 是状态变量，$u(t)=\delta _{x}$ 是控制输入，$y=\phi$ 是输出。参数 $\omega _{x}$，$\phi$ 和 $\delta _{x}$ 分别表示滚转角速度、滚转角和副翼偏转角。

数据

系统可以描述为

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {\omega }}_{x}(t)\\{\dot {\phi }}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-c_{1}(t)&0\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{x}(t)\\\phi (t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-c_{3}(t)\\0\end{bmatrix}}\delta _{x}(t)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y(t)=\phi (t)\end{aligned}}$

其可以用状态空间形式表示为

${\begin{aligned}A(t)={\begin{bmatrix}-c_{1}(t)&0\\1&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}B_{1}(t)={\begin{bmatrix}-c_{3}(t)\\0\end{bmatrix}},\quad B_{2}(t)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C(t)={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}D_{1}(t)=0,\quad D_{2}(t)=0\end{aligned}}$

其中$c_{1}(t)$ 和 $c_{3}(t)$ 是系统参数。

优化问题

优化问题是找到一个状态反馈控制律$u=Kx$，使得

1. 闭环系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+B_{1}K)x+B_{2}d\\z&=(C+D_{1}K)x+D_{2}d\end{aligned}}$

是稳定的。

2. 传递函数的$H_{\infty }$范数

$G_{zd}(s)=(C+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}$

小于一个正标量值，$\gamma$。因此

$||G_{zd}(s)||_{\infty }<\gamma$

LMI：BTT导弹姿态控制的LMI

利用[1]中定理8.1，该问题可以等价地表示为以下形式

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\quad X>0\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(CX+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma I&D_{2}^{T}\\CX+D_{1}W&D_{2}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

结论

如前所述，目标是衰减对导弹性能的干扰。参数$\gamma$是干扰衰减水平。但是，需要注意的是，BTT导弹滚转通道的此模型非常简单易于处理，没有干扰需要衰减。当用于完整的BTT导弹模型以及俯仰/偏航通道时，出于完整性考虑，此处给出了此问题。当矩阵$W$和$X$在优化问题中确定后，控制器增益矩阵可以通过以下公式计算：

$K=WX^{-1}$

实现

GitHub存储库中有关该问题的MATLAB代码链接

https://github.com/scarris8/LMI-for-BTT-Missile-Roll-Control

相关LMI

非旋转导弹姿态控制的LMI，俯仰通道

非旋转导弹姿态控制的LMI，偏航/滚转通道

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计与应用中的LMI

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