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非旋转导弹姿态控制的LMI，俯仰通道

导弹的动力学模型非常复杂，因此使用简化的模型。为此，我们考虑系统俯仰通道的简化姿态系统模型。我们的目标是实现导弹的非旋转运动。值得注意的是，俯仰通道和偏航/滚转通道的姿态控制设计可以用完全相同的方式求解，而系统的矩阵表示不同。

系统

俯仰通道的状态空间表示可以写成如下形式

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A(t)x(t)+B_{1}(t)u(t)+B_{2}(t)d(t)\\y(t)&=C(t)x(t)+D_{1}(t)u(t)+D_{2}(t)d(t)\end{aligned}}$

其中 $x=[\alpha \quad w_{z}\quad \delta _{z}]^{\text{T}}$, $u=\delta _{zc}$ , $y=[\alpha \quad n_{y}]^{\text{T}}$, 和 $d=[\beta \quad w_{y}]^{\text{T}}$ 分别是状态变量、控制输入、输出和扰动向量。参数 $\alpha$, $w_{z}$, $\delta _{z}$, $\delta _{zc}$, $n_{y}$, $\beta$, 和 $w_{y}$ 分别代表迎角、俯仰角速度、升降舵偏转量、输入执行机构偏转量、侧向过载、侧滑角和偏航角速度。

数据

在上述俯仰通道系统中，矩阵$A(t),B_{1}(t),B_{2}(t),C(t),D_{1}(t),$ 和 $D_{2}(t)$ 给出如下：

${\begin{aligned}A(t)={\begin{bmatrix}-a_{4}(t)&1&-a_{5}(t)\\-{\acute {a}}_{1}(t)a_{4}(t)-a_{2}(t)&{\acute {a}}_{1}(t)-a_{1}(t)&{\acute {a}}_{1}(t)a_{5}(t)-a_{3}(t)\\0&0&-1/\tau _{z}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}B_{1}(t)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad B_{2}(t)={\frac {w_{x}}{57.3}}{\begin{bmatrix}-1&0\\-{\acute {a}}_{1}(t)&{\frac {J_{x}-J_{y}}{J_{z}}}\\0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C(t)={\frac {w_{x}}{57.3}}{\begin{bmatrix}57.3g&0&0\\V(t)a_{4}(t)&0&V(t)a_{5}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}D_{1}(t)=0,\quad D_{2}(t)={\frac {1}{57.3g}}{\begin{bmatrix}0&0\\V(t)b_{7}(t)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中，$a_{1}(t)\sim a_{6}(t),\quad b_{1}(t)\sim b_{7}(t),{\acute {a}}_{1}(t),{\acute {b}}_{1}(t)$ 和 $c_{1}(t)\sim c_{4}(t)$ 是系统参数。此外，$V$ 是导弹的速度，$J_{x}$，$J_{y}$ 和 $J_{z}$ 是导弹相对于机体坐标的转动惯量。

优化问题

优化问题是找到一个状态反馈控制律 $u=Kx$ 使得

1. 闭环系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+B_{1}K)x+B_{2}d\\z&=(C+D_{1}K)x+D_{2}d\end{aligned}}$

是稳定的。

2. 传递函数的 $H_{\infty }$ 范数

$G_{zd}(s)=(C+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}$

小于一个正标量值，$\gamma$。因此

$||G_{zd}(s)||_{\infty }<\gamma$

LMI： 非旋转导弹姿态控制的LMI

利用[1]中的定理8.1，该问题可以等效地用以下形式表示

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\quad X>0\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(CX+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma I&D_{2}^{T}\\CX+D_{1}W&D_{2}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

结论

如前所述，目标是衰减对导弹性能的干扰。参数 $\gamma$ 是干扰衰减水平。当矩阵 $W$ 和 $X$ 在优化问题中确定后，控制器增益矩阵可以通过以下方式计算：

$K=WX^{-1}$

实现

GitHub 仓库中提供了该问题的 Matlab 代码链接

https://github.com/asalimil/LMI-for-Non-rotating-Missle-Attitude-Control

相关 LMI

用于非旋转导弹姿态控制的 LMI，偏航/滚动通道

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计与应用中的 LMI

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