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用于分散反馈控制的LMI

在大型系统中，例如多智能体机器人系统、国民经济或化工厂，执行器应根据局部信息采取行动，这需要分散或分布式控制策略。在分散控制框架中，控制器是分布式的，每个控制器只能访问局部测量值的一部分。我们描述了用于一般分散控制框架的LMI公式，然后提供了一个分散控制设计的说明性示例。

系统

在分散控制器设计中，状态反馈控制器 $u=Kx$ 可以分为 $n$ 个子控制器 $u_{i}=K_{i}x_{i},\quad i=1,2,...,n$.

数据

线性时不变系统的通用状态空间表示如下

${\begin{aligned}&{\dot {x}}=Ax+Bu\\&y=Cx+Du\end{aligned}}$

其中 $x$ 是一个 $n\times n$ 维状态变量向量，$B$ 是输入矩阵，$C$ 是输出矩阵，$D$ 被称为前馈矩阵。我们假设所有四个矩阵，$A$，$B$，$C$ 和 $D$ 是给定的。

优化问题

我们的目标是使用控制器 $u=Kx$ 解决 $H_{\infty }$-最优全状态反馈控制问题。

以去中心化的方式，控制输入 $u$ 可以被分成子控制器 $u_{1},u_{2},...,u_{j}$，可以写成 $u=[u_{1}\quad u_{2}\quad ...\quad u_{j}]_{1\times n}^{\text{T}}$。

例如，设 $j=3$ 且 $n=6$。因此，存在三个控制输入 $u_{1}$，$u_{2}$ 以及 $u_{3}$。我们还假设 u_{1} 仅依赖于第一个和第二个状态，而 $u_{2}$ 和 $u_{3}$ 仅依赖于第三到第六个状态。对于这个例子，控制器增益矩阵可以描述为

$K={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}&0&0&0&0\\0&0&k_{3}&k_{4}&k_{5}&k_{6}\\0&0&k_{7}&k_{8}&k_{9}&k_{10}\\\end{bmatrix}}$

因此，去中心化控制器增益由增益子矩阵组成。

LMI： 用于去中心化反馈控制器的 LMI

去中心化最优全状态反馈控制器的 LMI 公式的数学描述可以描述为

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\begin{bmatrix}YA^{\text{T}}+AY+Z^{\text{T}}B_{2}^{\text{T}}+B_{2}Z&*^{T}&*^{T}\\B_{1}^{T}&-\gamma I&*^{T}\\YC_{1}^{T}+Z^{T}D_{12}&D_{11}&-\gamma I\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 $Y>0$ 是一个正定矩阵，且 $Z$ 使得上述 LMI 中的约束条件得到满足。

结论

控制器增益矩阵定义为

$K={\begin{bmatrix}0&0\\0&F\end{bmatrix}}$

其中 $F$ 可以通过求解LMI并获得变量矩阵 $Y$ 和 $Z$ 来求得。因此，

$F=ZY^{-1}$.

实现

Github 仓库中关于此问题的 Matlab 代码链接

https://github.com/asalimil/LMI_for_decentralized_feedback_controller/tree/master

外部链接

一个列出记录和验证 LMI 的参考文献的列表。

• [1] - 控制系统分析、设计与应用中的 LMI

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