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用于广义特征值问题的 LMI

从技术上讲，广义特征值问题考虑两个矩阵，例如 $A$ 和 $B$ ，以找到广义特征向量， $x$ ，和特征值， $\lambda$ ，满足 $Ax=\lambda Bx$ 。如果矩阵 $B$ 是具有适当维度的单位矩阵，则广义特征值问题简化为特征值问题。

系统

假设我们有三个矩阵函数，它们是变量 $x=[x_{1}\quad x_{2}\quad ...\quad x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的函数，如下所示

$A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}$

$B(x)=B_{0}+B_{1}x_{1}+...+B_{n}x_{n}$

$C(x)=C_{0}+C_{1}x_{1}+...+C_{n}x_{n}$

其中 $A_{i}$ ， $B_{i}$ ，和 $C_{i}$ ( $i=1,2,...,n$ ) 是系数矩阵。

矩阵函数 $A(x)$ ， $B(x)$ 和 $C(x)$ 是适当维度的矩阵函数，它们都关于变量 $x$ 线性，并且 $A_{i}$ ， $B_{i}$ ， $C_{i}$ 是给定的矩阵系数。

问题是找到 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 使得

$A(x)<\lambda B(x)$ ， $B(x)>0$ ，以及 $C(x)<0$ 都满足，其中 $\lambda$ 是一个标量变量。

广义特征值问题的 LMI 公式的数学描述可以写成如下形式：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \lambda \\&{\text{s.t.}}\quad A(x)<\lambda B(x)\\&\quad \quad B(x)>0\\&\quad \quad C(x)<0\end{aligned}}$

该 LMI 问题的解是变量 $x$ 的值，使得标量参数 $\lambda$ 被最小化。在实际应用中，许多涉及 LMI 的问题可以用上述形式表达。在这些情况下，目标是最小化参与问题约束的标量参数。

GitHub 存储库中此问题的 Matlab 代码链接