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混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 输出反馈控制器

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 输出反馈控制一直被认为是多目标最优控制问题的一个例子。在这个问题中，控制反馈应该对多个规范做出适当的响应。在 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器中，$H_{\infty }$ 通道用于提高设计的鲁棒性，而 $H_{2}$ 通道保证了系统的良好性能。

系统

我们考虑线性系统的以下状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu\\y&=Cx+Du\end{aligned}}$

其中 $A$，$B$，$C$ 和 $D$ 分别是状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和前馈矩阵。

这些是系统（工厂）矩阵，可以表示为 $P=(A,B,C,D)$.

数据

我们假设工厂的所有四个矩阵 $A,B,C,D$ 是已知的。

优化问题

在这个问题中，我们使用 LMI 来制定和解决最优输出反馈问题，以最小化 <> 和 <> 范数。对每个范数赋予相同的权重，我们将得到以下形式的优化问题

${\begin{aligned}{\text{min}}\quad ||S(P,K)||_{H_{2}}^{2}+||S(P,K)||_{H_{\infty }}^{2}\end{aligned}}$

LMI：混合 $H_{2}$/$H_{\infty }$ 的 LMI

混合 $H_{2}$/$H_{\infty }$ 最优输出反馈问题的数学描述如下：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}\\&{\text{s.t.}}\\&{\begin{bmatrix}X_{1}&I\\I&Y_{1}\end{bmatrix}}>0\\&{\begin{bmatrix}AY_{1}+Y_{1}A^{\text{T}}+B_{2}C_{n}+C_{n}B_{2}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\A^{\text{T}}+A_{n}+(B_{2}D_{n}C_{2})^{\text{T}}&X_{1}A+A^{\text{T}}+B_{n}C_{2}+C_{2}^{\text{T}}B_{n}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(B_{1}+B_{2}D_{n}D_{21})^{\text{T}}&(X_{1}B_{1}+B_{n}D_{21})^{\text{T}}&-\gamma I&*^{\text{T}}\\C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n}&C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2}&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}&-\gamma I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}Y_{1}&I&(C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n})^{\text{T}}\\I&X_{1}&(C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2})^{\text{T}}\\(C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n})&(C_{1}+D_{12}D_{n}D_{21}&Z\\C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n}&C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2}&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}&-\gamma I\\\end{bmatrix}}>0\\&{\begin{bmatrix}AY_{1}+Y_{1}A^{\text{T}}+B_{2}C_{n}+C_{n}{\text{T}}B_{2}{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(A^{\text{T}}+An+(B_{2}*D_{n}*C_{2})^{\text{T}})&X_{1}A+A^{\text{T}}X_{1}+B_{n}C_{2}+C_{2}^{\text{T}}B_{n}^{\text{T}}&*^{\text{T}}&*^{\text{T}}\\(B_{1}+B_{2}D_{n}D_{21})^{\text{T}}&(X_{1}B_{1}+B_{n}D_{21})^{\text{T}}&-\gamma _{2}^{2}I&*^{\text{T}}\\(C_{1}Y_{1}+D_{12}C_{n})&(C_{1}+D_{12}D_{n}C_{2})&(D_{11}+D_{12}D_{n}*D_{21})&-I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\text{trace}}(Z)<\gamma _{1}^{2}\\&D_{11}+D_{12}D_{n}D_{21}=0\end{aligned}}$

其中 $\gamma _{1}^{2}$ 和 $\gamma _{1}^{2}$ 定义为系统的 $H_{2}$ 范数和 $H_{\infty }$ 范数

${\begin{aligned}&||S(P,K)||_{H_{2}}^{2}=\gamma _{1}^{2}\\&||S(P,K)||_{H_{\infty }}^{2}=\gamma _{2}^{2}\end{aligned}}$

此外，$X_{1}$，$Y_{1}$，$A_{n}$，$B_{n}$，$C_{n}$ 和 $D_{n}$ 是在求解 LMI 后找到的具有适当维度的可变矩阵。

结论

计算得到的标量 $\gamma _{1}^{2}$ 和 $\gamma _{2}^{2}$ 分别是系统的 $H_{2}$ 范数和 $H_{\infty }$ 范数。因此，混合 $H_{2}$/$H_{\infty }$ 范数定义为 $\beta =\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}$。对于每个单独的 $H_{2}$ 范数和 $H_{\infty }$ 范数的结果表明，与单独求解的情况相比，它们的值更大。

实现

GitHub 仓库中包含此问题的 Matlab 代码链接

https://github.com/asalimil/LMI_for_Mixed_H2_Hinf_Output_Feedback_Controller

外部链接

• [1] - LMI 在控制系统分析、设计和应用中的应用

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