控制中的LMI / pages / 线性系统时滞稳定性LMI

具有区间时变延迟的线性系统的指数稳定性的LMI条件

对于经历时变延迟的系统，其中延迟是有界的，本节中的可行性LMI可用于确定该系统是否为$\alpha$-指数稳定。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Dx(t-h(t)),&t\in \mathbb {R} ^{+},\\x(t)&=\phi (t),&t\in [-h_{2},0],\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态，$A,D\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 是时滞动力学的矩阵，$\phi (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是初始函数，其范数为$\|\phi \|=sup_{-{\bar {h}}\leq t\leq 0}\{\|\phi (t)\|,\|{\dot {\phi }}(t)\|\}$，并且它是$[-h_{2},0]$ 上的可微连续函数。时变延迟函数$h(t)$ 满足

$0\leq h_{1}\leq h(t)\leq h_{2},t\in \mathbb {R} ^{+},$

数据

矩阵$(A,D)$ 是已知的，时变延迟的边界$(h_{1},h_{2})$ 也是已知的。

优化问题

对于给定的 $\alpha >0$，上述系统零解是 $\alpha$-指数稳定，如果存在一个正数 $N>0$ 使得每一个解 $x(t,\phi )$ 满足以下条件

$\|x(t,\phi )\|\leq Ne^{-\alpha t}\|\phi \|,\forall t\in \mathbb {R} ^{+}$

LMI: $\alpha$-稳定性条件

以下可行性LMI可用于检查系统是否为 $\alpha$-指数稳定，对于给定的 $\alpha >0$

${\begin{aligned}&{\text{Find}}\;P,Q,R,U,S_{i},{\text{ where }}i=1,2,...,5:\\&\quad \quad {\begin{bmatrix}M_{11}&M_{12}&M_{13}&M_{14}&M_{15}\\*&M_{22}&0&M_{24}&S_{2}\\*&*&M_{33}&M_{34}&S_{3}\\*&*&*&M_{44}&S_{4}-S_{5}D\\*&*&*&*&M_{55}\end{bmatrix}}<0\\&{\text{where:}}\\&\quad \quad M_{11}=A^{\top }P+PA+2\alpha P-(e^{-2\alpha h_{1}}+e^{-2\alpha h_{2}})R+0.5S_{1}(I-A)+0.5(I-A^{\top })S_{1}^{\top }+2Q,\\&\quad \quad M_{12}=e^{-2\alpha h_{1}}R-S_{2}A,\quad M_{13}=e^{-2\alpha h_{2}}R-S_{3}A,\\&\quad \quad M_{14}=PD-S_{1}D-S_{4}A,\quad M_{15}=S_{1}-S_{5}A,\\&\quad \quad M_{22}=-e^{-2\alpha h_{1}}(Q+R),\quad M_{24}=S_{2}D+e^{-2\alpha h_{2}}U,\\&\quad \quad M_{33}=-e^{-2\alpha h_{1}}(Q+R+U),\quad M_{34}=-S_{3}D+e^{-2\alpha h_{2}}U,\\&\quad \quad M_{44}=0.5(S_{4}D+D^{\top }S_{4}^{\top })-e^{-2\alpha h_{2}}U,\\&\quad \quad M_{55}=S_{5}+S_{5}^{\top }+(h_{1}^{2}+h_{2}^{2})R+(h_{2}-h_{1})^{2}U,\end{aligned}}$

以上 LMI 可以与二分法结合来求解 $\alpha$.

结论

对于具有时间变化延迟间隔的系统，本节中的 LMI 可用于检查系统是否以一定的 $\alpha$ 指数稳定。二分法可以用来计算 $\alpha$ 。

实现

为了解决可行性 LMI，需要 YALMIP 工具箱来设置可行性问题，并且需要 SeDuMi 来解决问题。以下链接展示了一个可行性问题的示例

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Intervaled_Delay_Sys_Stability_example.m

外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• LMI approach to exponential stability of linear systems with interval time-varying delays - Phat 等人撰写的原始文章。