控制中的LMI/pages/复矩阵的最大奇异值

控制中的LMI/pages/复矩阵的最大奇异值

复矩阵的最大奇异值

系统

考虑 $A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ 以及 $\gamma$。矩阵 $A$ 的最大奇异值小于 $\gamma$ 当且仅当 $AA^{H}<\gamma ^{2}I$，其中 $A^{H}$ 是矩阵 $A$ 的共轭转置或厄米特转置。

数据

矩阵 $A$ 是唯一需要的数据。

LMI：复矩阵的最大奇异值

使用舒尔补方法，可以构建以下LMI

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)<\gamma \\{\begin{bmatrix}\gamma I&A\\A^{H}&\gamma I\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

以下LMI也是等价的

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)<\gamma \\{\begin{bmatrix}\gamma I&A^{H}\\A&\gamma I\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

结论

此LMI的结果将给出矩阵 $A$ 的最大复数值。

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)<\gamma \end{aligned}}$

实施

• 最大奇异值示例

% Maximimum Singular Value of Complex Matrix
% -- EXAMPLE --

%Clears all variables
clear; clc; close all;

%SDPVAR variables
gam1 = sdpvar(1);
gam2 = sdpvar(1);

%Example Matrix A
A = rand(9,6)+rand(9,6)*1i;

%Constraint Matrix for LMI optimization
M1 = [gam1*eye(9) A; A' gam1*eye(6)];

%Equivalent counter Matrix
M2 = [gam2*eye(6) A';A gam2*eye(9)]; 

%Constraints
Fc1 = (M1 >= 0);
Fc2 = (M2 >= 0);

%Objective function
obj1=gam1;
obj2=gam2;

%options
opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Optimization
optimize(Fc1,obj1,opt)
optimize(Fc2,obj2,opt)

%Displays output
fprintf('\nValue of Max singular value (using first method): ')
disp(value(gam1))

fprintf('\nValue of Max singular value (using second method): ')
disp(value(gam2))

fprintf('\nMATLAB verified output: ')
disp(norm(norm(A)))

相关 LMI

• 复矩阵的最小奇异值

外部链接

• 控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特教授关于 LMI 在控制中的课程。
• LMI 性质及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 莱恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯教授列出的 LMI。
• 系统和控制理论中的 LMI - 史蒂芬·博伊德教授关于 LMI 的可下载书籍。