控制中的 LMI /pages/最小增益引理

控制中的 LMI /pages/最小增益引理

最小增益引理

系统

假设存在一个连续时间 LTI 系统，其中必须为该系统开发一个控制器，该控制器是不稳定的。系统的最小增益可以通过对所有非零输入取输出与输入范数比率的下确界来获得。根据大增益定理，如果这样一个不稳定系统包含一个有限且非零的最小增益值，那么任何控制器都能够稳定闭环反馈系统，只要控制器也具有较大的最小增益。

该定理导致了最小增益引理的开发，该引理适用于分析，可以确定闭环系统是否即使在开环情况下本质上是不稳定的，也能够实现非零的最小增益值。通过具有一个 LTI 系统，其中系统 $G$ 对应以下矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 和 $D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$.

数据

将需要具有以下矩阵的工厂 $G$ 的系统： $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ 和 $D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$.

LMI：最小增益引理

以下两个 LMI 等价，具有相同的变量

假设存在 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ 和 $\upsilon \in \mathbb {R} _{\geq 0}$，其中 $P\geq 0$ 且

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}D\\(PB-C^{T}D)^{T}&\upsilon ^{2}I-D^{T}D\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

或（使用舒尔补获得）

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}D&0\\(PB-C^{T}D)^{T}&-D^{T}D&\upsilon I\\0&\upsilon I&-I\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

结论

求解此 LMI 将给出 LTI 系统的最小增益。如果系统已根据 $\upsilon$ 的值（从优化中获得）变为稳定，则可以使用此最小增益。

实现

• 最小增益引理示例

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于控制中 LMI 的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 莱恩·卡弗里和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 最小增益引理 - 布里奇曼和福布斯关于最小增益引理的论文