控制中的 LMI/页面/复矩阵的最小奇异值

控制中的 LMI/页面/复矩阵的最小奇异值

复矩阵的最小奇异值

系统

考虑 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ 以及 $\gamma$。矩阵 $A$ 的最小奇异值大于 $\gamma$ 当且仅当 $AA^{H}>\gamma ^{2}I$ 或 $A^{H}A>\gamma ^{2}I$，其中 $A^{H}$ 是矩阵 $A$ 的共轭转置或厄米特转置。使用的不等式取决于矩阵 $A$ 的大小。

数据

矩阵 $A$ 是唯一需要的数据。

LMI：复矩阵的最小奇异值

以下 LMI 可以根据 $A$ 的大小构建

如果 $A\in \mathbb {C} ^{n\times m}$，其中 $n\leq m$，那么

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)>\gamma \\AA^{H}>\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

否则，如果 $n\geq m$，那么

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)>\gamma \\A^{H}A>\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

结论

该 LMI 的结果将给出矩阵 $A$ 的最大复数值。

${\begin{aligned}{\bar {\sigma }}(A)>\gamma \end{aligned}}$

这个答案也可以通过以下解法证明。请注意，该解法仅在矩阵 $A$ 为方阵且可逆时有效： $\sigma _{min}=1/||A^{-1}||_{2}$.

实现

• 最小奇异值示例

% Minimum Singular Value of Complex Matrix
% -- EXAMPLE --

%Clears all variables
clear; clc; close all;

%SDPVAR variables
gam = sdpvar(1);

%Example Matrix A
A = rand(6,6)+rand(6,6)*1i;

%Constraints
Fc = ( A'*A >= gam*eye(6));

%Objective function
obj=-gam;

%options
opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Optimization
optimize(Fc,obj,opt)

%Displays output
fprintf('\nValue of Min singular value: ')
disp(value(sqrt(gam)))

fprintf('\nMATLAB verified output: ')
disp(1/norm(norm(A^(-1))))

相关 LMI

• 复矩阵的最大奇异值

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性及应用 - 莱恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。