控制中的 LMI/页面/混合 H2 HInf 最优观测器

混合 $H_{2}-H\infty$ - 最优状态估计的目的是设计一个观测器，最小化来自 $w_{1}$ 到 $z_{1}$ 的闭环传递函数的 $H_{2}$ 范数，同时确保来自 $w_{2}$ 到 $z_{2}$ 的闭环传递函数的 $H\infty$ 范数低于指定的上限。

系统

考虑具有状态空间实现的连续时间广义系统 $P$

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1,1}w_{1}+B_{1,2}w_{2},\\y&=C_{2}x+D_{21,1}w_{1}+D_{21,1}w_{2}\\\end{aligned}}

其中假定 $(A,C_{2})$ 是可检测的。

数据

作为输入所需的矩阵是 $A,B_{1},B_{2},C_{2},D_{21},D_{11}$ .

优化问题

观测器增益 L 的设计目标是使闭环传递矩阵 $T_{11}(s)$ 从外生输入 $w_{1}$ 到性能输出 $z_{1}$ 的 $H_{2}$ 范数最小化，同时确保闭环传递矩阵 $T_{22}(s)$ 从外生输入 $w_{2}$ 到性能输出 $z_{2}$ 的 $H\infty$ 范数小于 $\gamma _{d}$ ，其中

{\begin{aligned}T_{11}(s)=C_{1,1}(s1-(A-LC_{2}))^{-1}(B_{1,1}-LD_{21,1})\\T_{22}(s)=C_{1,2}(s1-(A-LC_{2}))^{-1}(B_{1,2}-LD_{21,2})+D_{11,22}\end{aligned}}

被最小化。观测器的形式为

{\begin{aligned}{\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+L(y-{\hat {y}}),\\{\hat {y}}=C_{2}{\hat {x}}\\\end{aligned}}

需要设计，其中 $L\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}}$ 是观测器增益。

LMI: $H_{\infty }$ 最优观测器

混合 $H_{2}-H\infty$ -最优观测器增益是通过求解 $P\in \mathbb {S} ^{n_{x}},G\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ 合成的，这些变量最小化 $\zeta (\nu )=\nu$ ，受制于 $P>0,Z>0$ 。