控制中的 LMI / pages / 修正外部圆锥扇区引理

概念

圆锥扇区定理是一个强大的输入-输出稳定性分析工具，它在系统特征的普遍性和简单性之间取得了很好的平衡，有利于实际的稳定性分析和鲁棒控制器综合。

系统

考虑一个平方连续时间线性时不变 (LTI) 系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，最小状态空间实现为(A, B, C, D)，其中${\mathcal {E,A}}\in {\mathcal {R}}^{n\times n},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {R}}^{n\times m},{\mathcal {C}}\in {\mathcal {R}}^{p\times n},$ 和 ${\mathcal {D}}\in {\mathcal {R}}^{p\times m}$.

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\\end{aligned}}$

数据

矩阵 $A,B,C$ 和 $D$

LMI：修正外部圆锥扇区引理

系统 ${\mathcal {G}}$ 位于以 *c* 为中心，半径为 *r* 的外部锥体中（即 ${\mathcal {G}}\in$excone_r(c)），其中 $r\in {\mathcal {R}}_{>0}$ 且 $\in {\mathcal {R}}$，在以下任意一个充分条件下。

1. 存在 P $\in {\mathcal {S}}^{n}$，其中 P $\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}\leq 0.$

证明. 在实际的 外部锥体扇区引理 中，项 $-C^{T}C$ 使矩阵不等式更负定。

因此，

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P-C^{T}C&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}\leq {\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-C^{T}(D-CI)\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&r^{2}I-(D-cI)^{T}(D-cI)\end{bmatrix}}$

2. 存在 P $\in {\mathcal {S}}^{n}$，其中 P $\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-C^{T}(D-CI)&0\\(PB-C^{T}(D-CI))^{T}&-(D-cI)^{T}(D-cI)&rI\\0&(rI)^{T}&-I\end{bmatrix}}\leq 0.$

证明。 对 (1) 中的 $r^{2}I$ 项应用舒尔补引理得到 (2)。

结论

如果存在一个正定的 $P$ 矩阵满足上述 LMI，则系统 ${\mathcal {G}}$ 位于以 c 为中心，半径为 r 的外部圆锥中。

实现

使用 MATLAB 实现此 LMI 的代码。 https://github.com/VJanand25/LMI

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参考文献

1. J. C. Willems, “Dissipative dynamical systems - part I: General theory,” Archive Rational Mechanics and Analysis, vol. 45, no. 5, pp. 321–351, 1972.
2. D. J. Hill and P. J. Moylan, “The stability of nonlinear dissipative systems,” IEEE Transac- tions on Automatic Control, vol. 21, no. 5, pp. 708–711, 1976.
3. Ryan James Caverly1 和 James Richard Forbes2 著，LMI 在系统、稳定性和控制理论中的性质和应用
4. Bridgeman, Leila Jasmine 和 James Richard Forbes. “外部圆锥扇区引理”。国际控制杂志 88.11 (2015): 2250-2263.