控制中的LMI/页面/修正最小增益引理

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修正最小增益引理

系统

假设存在一个连续时间线性时不变系统，其中必须为这样一个不稳定的系统开发控制器。系统的最小增益可以通过对所有非零输入，取输出和输入范数之比的下确界来获得。大增益定理表明，如果这样一个不稳定的系统包含一个有限的且非零的最小增益值，那么任何控制器都能够稳定闭环反馈系统，只要控制器也具有较大的最小增益。

该定理导致了最小增益引理的发展，其中适用的分析可以确定闭环系统是否实现了非零最小增益值，尽管在开环情况下本质上是不稳定的。通过具有一个线性时不变系统，其中系统$G$对应于以下矩阵$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$、$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$、$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$和$D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$。

本质上与最小增益引理相同；但是，此修改确保了正在优化的系统也具有李雅普诺夫稳定性。这本质上意味着变量$Q$必须确保系统在一定程度上是稳定的，否则系统本身是不可行的。

数据

将需要一个具有以下矩阵的工厂$G$的系统：$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$、$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$、$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$和$D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$。

LMI：修正最小增益引理

以下两个LMI是等价的，具有相同的变量

假设存在 $Q\in \mathbb {S} ^{n}$ 和 $\upsilon \in \mathbb {R} _{\geq 0}$，其中 $Q>0$，使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AQ+QA^{T}&B-QC^{T}D\\(B-QC^{T}D)^{T}&\upsilon ^{2}I-D^{T}D\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

或者（使用 Schur 补得到的）

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AQ+QA^{T}&B-QC^{T}D&0\\(B-QC^{T}D)^{T}&-D^{T}D&\upsilon I\\0&\upsilon I&-I\end{bmatrix}}&\leq 0\end{aligned}}$

结论

求解该线性矩阵不等式（LMI）将得到线性时不变（LTI）系统的最小增益。如果系统基于优化得到的 $\upsilon$ 值实现了稳定，则可以利用该最小增益。该系统还将证明该工厂是李雅普诺夫稳定的。

实现

• 最小增益引理示例

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - 马修·皮特关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯编制的LMI列表。
• 最小增益引理 - 布里奇曼和福布斯关于最小增益引理的论文。