控制中的 LMI/页面/多准则 LQG

控制中的 LMI/页面/多准则 LQG

多准则线性二次高斯 (LQG) 线性矩阵不等式将允许人们为具有基于 Q 和 R 矩阵中定义的几个不同准则的高斯噪声的状态空间系统形成一个优化的控制器，类似于 LQR 框架中的控制器，这些准则被优化为任意成本函数的一部分。就像传统的 LQR 一样，成本矩阵必须以与经典控制中传统增益非常类似的方式进行调整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直观，因为每个增益都直接与状态或输入相关。

系统

该系统是一个线性时不变系统，可以用状态空间表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu+w,\\y&=Cx+v,\\z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分别表示状态向量、测量输出向量和感兴趣的输出向量，$w\in R^{p}$ 是扰动向量，并且 $A,B,C,Q,R$ 是适当维度的系统矩阵。进一步定义：$x$ 是 $\in R^{n}$ 并且是状态向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 并且是状态矩阵，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 并且是输入矩阵，$w$ 是 $\in R^{r}$ 并且是外生输入，$C,Q,R$ 是 $\in R^{m*n}$ 并且是输出矩阵，并且 $y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 并且分别是输出和感兴趣的输出。

$Q\geq 0$ 并且 $R>0$，并且该系统是可控且可观的。

数据

矩阵 $A,B,C,Q,R,W,V$ 和噪声信号 $w,v$.

优化问题

在线性二次高斯（LQG）控制问题中，目标是在系统具有随机初始条件并受到输入和测量上的白噪声扰动的情况下，最小化二次成本函数。

此问题有多个感兴趣的输出。它们由以下公式定义：

${\begin{aligned}z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}},Q_{i}\geq 0,R_{i}>0,i=0,...,p.\end{aligned}}$

对于每个感兴趣的输出，我们都关联一个成本函数

${\begin{aligned}J_{LQG}^{i}=\lim _{t\to \infty }Ez_{i}(t)^{T}z_{i}(t),i=0,...,p.\end{aligned}}$

此外，矩阵 $X_{LQG}$ 和 $Y_{LQG}$ 必须作为以下 Riccati 方程的解找到：

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

优化问题是使 $J_{LQG}^{0}$ 在 u 满足可测性条件和约束 $J_{LQG}^{i}<\gamma _{i},i=0,...,p.$ 的情况下最小化。这个优化问题可以表述为

${\begin{aligned}\max trace(X_{LQG}U+QY_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

超过 $\tau _{1},...,\tau _{p}$，其中

${\begin{aligned}Q&=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R&=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i}.\end{aligned}}$

LMI：多准则LQG

${\begin{aligned}\max :trace(XU+(Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i})Y_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

超过 $X,\tau _{1},...\tau _{p}$，受以下约束

${\begin{aligned}X&>0,\\\tau _{1}\geq 0,...,\tau _{p}&\geq 0,\\A^{T}X+XA-XB(R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i})^{-1}B^{T}X+Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i}&\geq 0.\\\end{aligned}}$

结论

此LMI的结果是上述Ricatti方程的解

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

实施

此实施需要Yalmip和Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相关LMI

1. 最优控制的逆问题

外部链接

• 最优控制和鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet关于LMI控制的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - Ryan Caverly和James Forbes的LMI列表。
• 系统和控制理论中的LMI - Stephen Boyd关于LMI的可下载书籍。