控制中的LMI/页面/NI引理

控制中的LMI/页面/NI引理 正实系统通常与涉及能量耗散的系统相关。但是，标准的正实理论在建立闭环稳定性方面将无济于事。然而，次数大于一的系统的传递函数可以满足所有频率值的负虚部条件，并且此类系统被称为“具有负虚部频率响应的系统”或“负虚部系统”。

系统

考虑一个具有状态空间实现$(A,B,C,D)$的平方连续时间线性时不变系统。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

数据

$A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{m\times n},D\in \mathbb {S} ^{m}$

LMI：负虚部引理的LMI

根据该引理，上述系统在以下任意一个等价的充要条件下为负虚部系统

• 存在一个$P$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ⁿ，其中$P\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+PA&PB-A^{T}C^{T}\\B^{T}P-CA&-(CB+B^{T}C^{T})\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}\leq 0\end{aligned}}$

• 存在一个$Q$ ∈ ${\begin{aligned}\mathbb {S} \end{aligned}}$ⁿ，其中$Q\geq 0$，使得

${\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ&B-QA^{T}C^{T}\\B^{T}-CAQ&-(CB+B^{T}C^{T})\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}\leq 0\end{aligned}}$

结论

如果det($A$) $\neq$ 0，并且上述任一LMI可行，且得到的 $P>0$ 或 $Q>0$，则该系统是严格负虚数的。

实现

该问题在Github仓库中的简单实现的Matlab代码链接

https://github.com/yashgvd/ygovada

相关LMI

正实引理

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计与应用中的LMI
• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - 马修·皮特的关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 熊俊林 & 彼得森·伊恩 & 兰佐恩·亚历山大. (2010). 负虚数引理与线性负虚数系统互连的稳定性.