控制中的 LMI/pages/矩阵正定性的概念

正定性的记号

一个对称矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 被定义为

半正定, $(A\geq 0)$, 如果对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax\geq 0$ 都成立。

正定, $(A>0)$, 如果对于所有 $x\in \mathbb {R} ^{n},x\neq \mathbf {0}$，$x^{T}Ax>0$ 都成立。

半负定, $(-A\geq 0)$.

负定, $(-A>0)$.

不定 如果 $A$ 既不是半正定也不是半负定。

正定矩阵的性质

• 对于任何矩阵 $M$，$M^{T}M>0$.
• 正定矩阵是可逆的，并且逆矩阵也是正定的。
• 正定矩阵 $A>0$ 有一个平方根，$A^{1/2}>0$，使得 $A^{1/2}A^{1/2}=A$.
• 对于一个正定矩阵 $A>0$ 和可逆的 $M$，$M^{T}AM>0$.
• 如果 $A>0$ 且 $M>0$，那么 $A+M>0$.
• 如果 $A>0$，那么 $\mu A>0$ 对于任何标量 $\mu >0$.

外部链接

• LMI 在最优与鲁棒控制中的方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制领域的课程。
• LMI 在系统、稳定性与控制理论中的性质与应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 关于 LMI 的列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。