控制中的 LMI/页面/峰峰值范数

控制中的 LMI/页面/峰峰值范数

系统的峰峰值范数性能

系统

考虑以下系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}=Ax+Bu\\z=Cx+Du\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是状态信号， $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是输入信号，而 $z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是输出。 给定初始条件 $x(0)=0$，该系统可以定义为将输出和输入信号映射到峰峰值性能。

${\begin{aligned}||T||_{\infty ,\infty }:=\sup \limits _{0<||u||_{\infty }<\infty }{\frac {||z||_{\infty }}{||u||_{\infty }}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵 $A$，$B$，$C$ 和 $D$ 是此优化问题所需的唯一数据集。

优化问题

考虑一个连续时间 LTI 系统，$G:L_{2e}\to L_{2e}$，假设：$A$，$B$，$C$，和 $D$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，$C\in \mathbb {R} ^{p\times n}$，和 $D\in \mathbb {R} ^{p\times m}$。假设矩阵 $A$ 是 Hurwitz，$G$ 的峰峰值范数表示为：

${\begin{aligned}||T||_{\infty ,\infty }:=\sup \limits _{0<||w||_{\infty }<\infty }{\frac {||z||_{\infty }}{||u||_{\infty }}}\\\end{aligned}}$

LMI： 峰峰值范数

存在一个矩阵 $P\in \mathbb {S} ^{n}$ 和 $\gamma$, $\epsilon$, $\mu \in \mathbb {R} _{>0}$，其中使用了以下约束条件：$\min \mu$

${\begin{aligned}P<0\\{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+\gamma P&PB\\B'P&\epsilon I\end{bmatrix}}&<0\\{\begin{bmatrix}\gamma P&0&C^{T}\\0&(\mu -\epsilon )I&D^{T}\\C&D&\mu I\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

由于此优化在约束条件中包含 $\gamma P$，因此它是一个双线性优化。除非对变量 $\gamma P$ 进行某种替换，否则无法解决此 LMI。

结论

此 LMI 的结果将给出系统的峰峰值范数

${\begin{aligned}\sup \limits _{0<||u||_{\infty }<\infty }{\frac {||z||_{\infty }}{||u||_{\infty }}}<\mu \end{aligned}}$

实现

• 峰峰值范数示例

% Peak-to-Peak Norm
% -- EXAMPLE --

%Clears all variables
clear; clc; close all;

%Example Matrices
A  = [ 1  1  0  1  0  1;
      -1  0 -1  0  0  1;
       1  0  0 -1  1  1;
      -1  1 -1  0  0  0;
      -1 -1  1  1 -1 -1;
       0 -1  0  0 -1  0];
  
B =  [ 0 -1 -1;
       0  0  0;
      -1 -1  1;
      -1  0  0;
       0  0  1;
      -1  1  1];
  
C = [ 0  1  0 -1 -1 -1;
      0  0  0 -1  0  0;
      1  0  0  0 -1  0];
  
D = [ 0  1  1;
      0  0  0;
      1  1  1];

%SDPVAR variables
gam = sdpvar(1);
eps = sdpvar(1);
up  = sdpvar(1);

%SDPVAR MATRIX
P = sdpvar(size(A,1),size(A,1),'symmetric');

%Constraint matrices
M1 = [A'*P+P*A+gam*P  P*B       ; 
      B'*P           -eps*eye(3)];

M2 = [gam*P       zeros(6,3)     C'        ;
      zeros(3,6) (up-eps)*eye(3) D'        ;
      C           D              up*eye(3)];

%Constraints
Fc = (P >= 0);
Fc = [Fc; gam >= 0];
Fc = [Fc; eps >= 0];
Fc = [Fc; M1  <= 0];
Fc = [Fc; M2  >= 0];

%Objective function
obj = up;

%Settings for YALMIP
opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Optimization
optimize(Fc,obj,opt)

fprintf('\nRepresentation of what occurs when attempting to solve \n')
fprintf('problem without considering bilinearity\n\n')

fprintf('setting gamma to a certain value\n eg: 0.5')
gam = 0.5;

eps = sdpvar(1);
up  = sdpvar(1);

%SDPVAR MATRIX
P = sdpvar(size(A,1),size(A,1),'symmetric');

%Constraint matrices
M1 = [A'*P+P*A+gam*P  P*B       ; 
      B'*P           -eps*eye(3)];

M2 = [gam*P       zeros(6,3)     C'        ;
      zeros(3,6) (up-eps)*eye(3) D'        ;
      C           D              up*eye(3)];

%Constraints
Fc = (P >= 0);
Fc = [Fc; eps >= 0];
Fc = [Fc; M1  <= 0];
Fc = [Fc; M2  >= 0];

%Objective function
obj = up;

%Optimization
optimize(Fc,obj,opt)

fprintf('mu value: ')
disp(value(up))

外部链接

• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的 LMI 下载书籍。
• 控制中的线性矩阵不等式 - Carsten Scherer 和 Siep Weiland 编写的 LMI 下载书籍