控制中的LMI/页面/多面体稳定性

一个重要结果，用于确定具有不确定性的系统的稳定性

系统

考虑具有仿射时变不确定性的系统（无输入）

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A_{0}+\Delta A(t))x(t)\\\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}\Delta A(t)=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}

其中 $\delta _{i}(t)$ 位于以下区间内

{\begin{aligned}\delta _{i}\in [\delta _{i}^{-},\delta _{i}^{+}]\\\end{aligned}}

或单纯形

{\begin{aligned}\delta (t)\in {\delta :\Sigma \alpha _{i}=1,\alpha \geq 0}\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$ 且 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$

矩阵 A 和 $\Delta _{A(t)}$ 是已知的

定义：动态不确定性的二次稳定性

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A_{0}+\Delta A(t))x(t)\\\end{aligned}}

在 $\Delta$ 上二次稳定，如果存在 P > 0

定理
$(A+\Delta ,{\boldsymbol {\Delta }})$ 在 ${\boldsymbol {\Delta }}:=Co(A_{1},...,A_{k})$ 上二次稳定当且仅当存在一个 P > 0 使得

{\begin{aligned}(A+A_{i})^{T}P+P(A+A_{i})<0\quad for\quad all\quad i=1,....,k\end{aligned}}

该定理表明，LMI 只需在多面体的极值点或顶点处成立。

{\begin{aligned}(A+\Delta )^{T}P+P(A+\Delta )<0\quad for\quad all\quad \Delta \in {\boldsymbol {\Delta }}\end{aligned}}

二次稳定性意味着对于所有 $\Delta$ 都有 $\Delta \in {\boldsymbol {\Delta }}$ ，对于所有 $t\geq 0$ ，轨迹的稳定性。
二次稳定性是保守的。
存在稳定的系统不是二次稳定的。
二次稳定性有时被称为“无限维 LMI”。

记录和验证 LMI 的参考文献列表。