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正象限可稳定性

线性系统的正象限稳定性是指系统状态在所有 $t\geq 0$ 时都为实数且为正数，并且随着时间的推移衰减到零的性质。在本节中，将介绍系统为正象限稳定的可行性问题，以及使系统正象限稳定的可稳定性条件。

系统

考虑系统的线性状态空间表示如下：

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是系统的状态向量和输入向量。A 和 B 是适当维度的系统系数矩阵。

数据

需要知道状态数 n 和控制输入数 r。此外，还要求知道系统矩阵 A,B。

可行性 LMI

如果 $x(0)\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ 意味着 $\forall t\geq 0,x(t)\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ ，则 LTI 系统是正象限稳定的。此外，当 $t\rightarrow \infty$ 时， $x(t)\rightarrow 0$ 。当且仅当以下条件成立时，这是可能的：

{\begin{aligned}A_{ij}&\geq 0,\forall i\neq j,\\\exists P&>0{\text{ s.t. }}PA^{\top }+AP<0,\end{aligned}}

上述 LMI 可行性是正象限稳定性判据。为了将其转换为正象限可稳定性检查，可以修改问题，以便检查 ${\dot {x}}=(A+BK)x$ 是否正象限稳定。由于 $K$ 也是此处的一个设计变量，因此上述 LMI 中的第二个不等式将导致双线性。简单的变量替换可以克服这个问题，从而导致以下 LMI 可行性问题，用于检查 LTI 系统的正象限可稳定性