控制中的 LMI/pages/二次多面体 Hinf- 最优状态反馈控制

二次多面体全状态反馈最优 $H_{\infty }$ 控制

对于具有多面体不确定性的系统，全状态反馈是一种控制技术，它试图根据给定的性能规范将系统的闭环系统极点放置在指定位置。 $H_{\infty }$ 方法将此任务表述为优化问题，并试图最小化 $H_{\infty }$ 系统的范数。

系统

考虑具有以下状态空间表示的系统。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}q(t)+B_{2}w(t)\\p(t)&=C_{1}x(t)+D_{11}q(t)+D_{12}w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$，$q\in \mathbb {R} ^{n}$，$w\in \mathbb {R} ^{g}$，$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{mxn}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{mxg}$，$p\in \mathbb {R} ^{p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{pxm}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{pxn}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{pxg}$，$z\in \mathbb {R} ^{s}$，$C_{2}\in \mathbb {R} ^{sxm}$，$D_{21}\in \mathbb {R} ^{sxn}$，$D_{22}\in \mathbb {R} ^{sxg}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$。

给系统矩阵添加不确定性

$A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12}$

新的状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B_{1}+B_{i})q(t)+(B_{2}+B_{i})w(t)\\p(t)&=(C_{1}+C_{i})x(t)+(D_{11}+D_{i})q(t)+(D_{12}+D_{i})w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

优化问题

回顾状态反馈下的闭环系统
$S(P,K)=$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A+B_{2}F&&B_{1}\\C_{1}+D_{12}F&&D_{11}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

这个问题可以表述为 $H\infty$ 最优状态反馈，其中 K 是控制器增益矩阵。

LMI

用于二次多面体 $H\infty$ 最优状态反馈控制的 LMI $||S(P(\Delta ),K(0,0,0,F))||_{H\infty }\leq \gamma$
$Y>0$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}Y(A+A_{i})^{T}+(A+A_{i})Y+Z^{T}(B_{2}+B_{1,i})^{T}+(B_{2}+B_{1,i})Z&&*^{T}&&*^{T}\\(B_{1}+B_{1,i})^{T}&&-\gamma I&&*^{T}\\(C_{1}+C_{1,i})Y+(D_{12}+D_{12,i})Z&&(D_{11}+D_{11,i})&&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

结论

通过 $F=ZY^{-1}$ 可以恢复 $H\infty$ 最优状态反馈控制器。
控制器将确定 $\gamma$ 对系统 $H_{\infty }$ 范数的界。

实现

https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/tree/master

相关LMI

完全状态反馈最优 $H_{\infty }$ 控制器

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的LMI方法 - 马修·皮特关于控制中LMI的课程。
• LMI性质及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 由瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯编写的LMI清单。
• 系统和控制理论中的LMI - 由斯蒂芬·博伊德编写的关于LMI的可下载书籍。