控制中的 LMI / pages / 二次稳定性

系统

TS 模糊模型允许将非线性模型表示为一组局部 LTI（线性时不变）模型 $[1,p.10]$ ，每个模型称为子系统。子系统是在前提变量空间 $z(t)$ = $[z1(t)z2(t)...zp(t)]$ 的系统局部表示，这些变量是已知的，并且可能取决于状态变量和输入变量。

优化问题

考虑一个自治系统 $x$ = $Ax$ ，其中 $A$ 是一个常数矩阵。如果我们定义李雅普诺夫函数 $V(x)$ = $x^{T}Px$ ，那么系统是稳定的，如果存在 $P>0$ 使得条件满足。

$A^{T}P+PA<0$

如果我们有一个矩阵族 $A(\delta (t))$ （其中 $\delta (t)$ 是一个受多面体 ∆ 限制的参数），而不是单个矩阵 A，那么系统方程变为 $x$ = $A(\delta (t))x$ ，并且条件应该在 $\delta (t)$ 所有可能的值中都满足。如果存在 $P>0$ 使得以下条件满足，那么该系统是二次稳定的。

$A(\delta (t))^{T}P+PA(\delta (t))<0$ ∀ $\delta (t)$ ∈ ∆。

由于存在无限个矩阵 A(δ(t))，因此也存在无限个与之前提到的二次稳定性相关的约束条件需要满足。从实际角度来看，这使得问题无法解决。现在考虑系统 $x=A(\delta (t))x$ 可以用多面体形式表示为一个带有前提变量 $z(t)$ 和 r 个子系统 $Ai$ 的 Takagi-Sugeno (TS) 多面体系统 ( $i={1,...,r}$ )。

$x(t)=\sum _{i=1}^{r}(h_{i}(z(t))A_{i}x(t)$ .

可以证明，如果在多面体的顶点（子系统）中满足之前的条件，那么多面体自主系统是二次稳定的。因此，无需在无限个矩阵中检查稳定性，而只需在子系统矩阵 $A_{i}$ 中进行检查。

$A_{i}^{T}P+PAi<0$ ∀i = 1, . . . , r。

稳定性条件可以应用于闭环系统，得到以下一组条件。

$G_{ii}^{T}P+PG_{ii}<0$ ∀i = 1, . . . , r。

$((G_{ij}+G_{ji})/2)^{T}P+P((G_{ij}+G_{ji})/2)<=0$ ∀i, j ∈ {1, . . . , r}, i < j。

其中 $G_{ij}=A_{i}+B_{i}K_{j}$ 且 $hi(z(t))hj(z(t))\neq 0$ .

在矩阵 Bi 为常数的特殊情况下（即 $B_{i}=B$ ），第一组不等式足以证明稳定性。因此，假设所有子系统的 B 为常数，如果存在 P > 0 使得条件满足，则具有状态反馈控制的多面体 TS 模型 (2.2) 在多面体内是二次稳定的。

$(A_{i}+BK_{i})^{T}P+P(A_{i}+BK_{i})<0$ ∀i = 1, . . . , r.

可以利用对输入的预滤波实现 B 为常数的假设。这种改变不是限制性的，主要的结果是在 TS 模型中添加了一些新的状态变量（来自滤波器的变量）。

LMI

设计使闭环系统稳定的控制器归结为解决线性矩阵不等式 (LMI) 问题，即找到一个正定矩阵 P 和一组矩阵 $K_{i}$ ，使得条件满足。然而，由于约束应该是未知变量的线性组合，因此应用以下变量变换： $W_{i}=K_{i}Q$ ，其中 $Q=P^{-}1$ 。LMI 问题的解是一组矩阵 $W_{i}$ ，使得条件满足。