控制中的 LMI / 页面 / 二阶系统的鲁棒稳定性

稳定性是控制领域中一个非常重要的概念，对于具有扰动的二阶系统来说也同样重要。这种二阶系统可以通过质量-弹簧-阻尼器模型来最简单的概念化，并添加扰动。速度和位置当然被选为该系统的状态，状态空间模型可以写成如下所示。在这种情况下，稳定性的目标是设计一个由两个控制器增益矩阵 $K_{p}$ 和 $K_{d}$ 组成的控制律。这些允许构建一个稳定的闭环控制器。

系统

在这个 LMI 中，我们有一个不确定的二阶线性系统，可以在状态空间中建模为

{\begin{aligned}(A_{2}+\Delta A_{2}){\ddot {x}}+(A_{1}+\Delta A_{1}){\dot {x}}+(A_{0}+\Delta A_{0})x&=Bu)\\y_{d}&=C_{d}{\dot {x}}\\y_{p}&=C_{p}x\end{aligned}}

其中 $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分别是状态向量和控制向量， $y_{d}\in R^{m_{p}}$ 和 $y_{d}\in R^{m_{p}}$ 分别是导数输出向量和比例输出向量， $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},C_{p}$ 是适当维度的系统系数矩阵。

$\Delta A_{2},\Delta A_{1},$ 和 $\Delta A_{0}$ 分别是矩阵 $A_{2},A_{1},$ 和 $A_{0}$ 的扰动，分别是有限的，并且满足

{\begin{aligned}|\Delta A_{2}|_{2}\leq \epsilon _{2},|\Delta A_{1}|_{2}\leq \epsilon _{1},|\Delta A_{0}|_{2}\leq \epsilon _{0},\end{aligned}}

或者

{\begin{aligned}max\{\|\Delta a_{2ij}\|\}\leq \eta _{2},max\{\|\Delta a_{1ij}\|\}\leq \eta _{1},max\{\|\Delta a_{0ij}\|\}\leq \eta _{0},\end{aligned}}

其中 $\epsilon _{2},\epsilon _{1},\epsilon _{0}$ 和 $\eta _{2},\eta _{1},\eta _{0}$ 是两组给定的正标量， $\Delta a_{2ij},\Delta a_{1ij},$ 和 $\Delta a_{0ij}$ 分别是矩阵 $\Delta A_{2},\Delta A_{1},$ 和 $\Delta A_{0},$ 的第 i 行和第 j 列元素。此外，扰动符号也满足假设 $\Delta A_{2},\Delta A_{0}\in S^{n}$ 和 $A_{2}+\Delta A_{2}>0$ .

To further define: $x$ is $\in R^{n}$ and is the state vector, $A_{0}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on $x$ , $A_{1}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\dot {x}}$ , $A_{2}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\ddot {x}}$ , $B$ is $\in R^{n*r}$ and is the input matrix, $u$ is $\in R^{r}$ and is the input, $C_{d}$ and $C_{p}$ are $\in R^{m*n}$ and are the output matrices, $y_{d}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{d}$ , and $y_{p}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{p}$ .