控制中的LMI/pages/SSFP

控制中的LMI/pages/SSFP
我们正在尝试稳定静态状态反馈问题

系统

考虑一个连续时间的线性时不变系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

数据

$A,B$ 是已知矩阵

优化问题

该问题的主要目标是找到一个反馈矩阵，使得系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

并且

${\begin{aligned}u(t)=Kx(t)\\\end{aligned}}$

是稳定的，最初我们找到 $K$ 矩阵，使得 $(A+BK)$ 是Hurwitz。

LMI：静态状态反馈问题

现在可以将此问题公式化为LMI，作为问题1

$X(A+BK)+(A+BK)^{T}X<0$

从上面的方程式 $X>0$ 我们必须找到K

正如我们所看到的，这个问题在 $K,X$ 中是双线性的

• X 和 K 中的双线性是一个常见的范式
• 双线性优化不是凸的。为了使问题凸化，我们使用变量变化。

问题2

$AP+BZ+PA^{T}+Z^{T}B^{T}<0$

其中 $P>0$ 我们找到 $Z$
$K=ZP^{-1}$

问题1 等价于问题2

结论

如果 (A,B) 可控，我们可以得到一个使系统稳定的控制器矩阵。

实现

该问题的简单实现的 Matlab 代码链接在 Github 仓库中

https://github.com/yashgvd/ygovada

相关 LMI

Hurwitz 稳定性

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计和应用中的 LMI
• LMI 方法在最优和鲁棒控制中的应用 - Matthew Peet 的 LMI 在控制中的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• [2] - Mathworks 对直流增益的参考