控制中的 LMI / 矩阵和 LMI 属性及工具 / 小增益定理
小增益定理为反馈连接的稳定性提供了一个充分条件。
假设 B {\displaystyle B} 是一个巴拿赫代数，并且 Q ∈ B {\displaystyle Q\in B} 。如果 ‖ Q ‖ < 1 {\displaystyle \|Q\|<1} ，则 ( I − Q ) − 1 {\displaystyle (I-Q)^{-1}} 存在，此外，
( I − Q ) − 1 = ∑ k = 0 ∞ Q k {\displaystyle (I-Q)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }Q^{k}}
假设我们有一个互连系统 ( G , K ) {\displaystyle (G,K)}
y 1 = G ( u 1 − y 2 ) {\displaystyle y_{1}=G(u_{1}-y_{2})} 和 y 2 = K ( u 2 − y 1 ) {\displaystyle y_{2}=K(u_{2}-y_{1})}
以上等式可以用矩阵形式表示为
[ I 0 0 I ] [ y 1 y 2 ] = [ 0 − G − K 0 ] [ y 1 y 2 ] + [ G 0 0 K ] [ u 1 u 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ 0&-G\\\ -K&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}G&0\\0&K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
使 [ y 1 y 2 ] T {\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}\end{bmatrix}}^{T}} 成为主题，我们有
[ y 1 y 2 ] = [ I G K I ] − 1 [ G 0 0 K ] [ u 1 u 2 ] = [ ( I − G K ) − 1 G − G ( I − K G ) − 1 K − K ( I − G K ) − 1 G ( I − K G ) − 1 K ] [ u 1 u 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ I&G\\\ K&I\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}G&0\\0&K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ (I-GK)^{-1}G&-G(I-KG)^{-1}K\\\ -K(I-GK)^{-1}G&(I-KG)^{-1}K\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
如果 ( I − G K ) − 1 {\displaystyle (I-GK)^{-1}} 行为良好，则互连是稳定的。为了 ( I − G K ) − 1 {\displaystyle (I-GK)^{-1}} 行为良好， ‖ ( I − G K ) − 1 ‖ {\displaystyle \|(I-GK)^{-1}\|} 必须是有限的。
因此，我们有 ‖ ( I − G K ) − 1 ‖ < ∞ {\displaystyle \|(I-GK)^{-1}\|<\infty }
‖ G ‖ ‖ K ‖ = ‖ Q ‖ {\displaystyle \|G\|\|K\|=\|Q\|} 并且 ‖ Q ‖ < I {\displaystyle \|Q\|<I} 为了 ‖ Q ‖ {\displaystyle \|Q\|} 的更高指数收敛到 0. {\displaystyle 0.}
如果 ‖ Q ‖ < 1 {\displaystyle \|Q\|<1} ，则这暗示了稳定性，因为 Q {\displaystyle Q} 在 ∑ k = 0 ∞ Q k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q^{k}} 的求和中，更高指数将收敛到 0 {\displaystyle 0} ，而不是无限地爆炸。
一份记录和验证LMI的参考文献列表。
是一个巴拿赫代数，并且 
。如果 
，则 
存在，此外，
和 
成为主题，我们有
行为良好，则互连是稳定的。为了 行为良好， 
必须是有限的。
并且 
为了 
的更高指数收敛到 
，则这暗示了稳定性，因为 
在 
的求和中，更高指数将收敛到 
，而不是无限地爆炸。
