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切换系统的极点配置

此LMI允许您提供切换系统闭环极点的规范。请注意，在稳定系统之间任意切换会导致不稳定，而可以在单独的不稳定系统之间进行切换以实现稳定性。

系统

假设我们得到了切换系统，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B_{i}\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C_{i}\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$.

$i\in 1,...,k$ 操作模式

数据

为了正确定义复平面中极点的可接受区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A_{i}$, $B_{i}$
• 所需的闭环极点边界 ($\alpha$)

拥有这些信息将有助于我们制定优化问题。

优化问题

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。我们首先要定义复平面中极点可以位于的可接受区域。假设 $z$ 是复数极点位置，则

$Re(z)\leq \alpha$

LMI：用于极点配置的LMI

假设存在$P>0$ 和$Z$ 使得

${\begin{aligned}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,\end{aligned}}$

对于$i=1,...,k$

结论

由此产生的控制器可以通过以下方式恢复

$K=ZP^{-1}$.

实现

此 LMI 的实现需要 Yalmip 和 Sedumi /MOSEK [1]

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - Matthew Peet 撰写的关于 LMI 在控制中的课程。
• LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory - Ryan Caverly 和 James Forbes 撰写的 LMI 列表。
• LMIs in Systems and Control Theory - Stephen Boyd 撰写的一本关于 LMI 的可下载书籍。