控制中的 LMI/页面/切换系统上升时间

切换系统的上升时间规格

此 LMI 允许您指定所需的性能（上升时间）。请注意，在稳定系统之间随意切换会导致不稳定，而可以在单个不稳定系统之间切换以实现稳定。

系统

假设我们得到了一个切换系统，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{m\times m}$, $B_{i}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $C_{i}\in \mathbb {R} ^{p\times m}$, 以及 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$.

$i\in 1,...,k$ 操作模式

数据

为了正确定义复平面中可接受的极点区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A_{i}$, $B_{i}$
• 上升时间 ($t_{r}$)

拥有这些信息将有助于我们制定优化问题。

优化问题

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。我们首先必须使用以下不等式约束定义复平面中极点可以位于的可接受区域

上升时间：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

假设 $z$ 是复极点位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\\end{aligned}}$

这使得我们能够修改我们的不等式约束为

上升时间：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

LMI：关于上升时间规格的LMI

假设存在 $P>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{bmatrix}-rP&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}<0$

对于 $i=1,...,k$

结论

最终的控制器可以通过以下公式恢复

$K=ZP^{-1}$.

实现

此LMI的实现需要Yalmip和Sedumi /MOSEK [1]

外部链接

文档化和验证LMI的参考资料列表。

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet关于LMI在控制中的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - Ryan Caverly和James Forbes的LMI清单。
• 系统与控制理论中的LMI - Stephen Boyd关于LMI的可下载书籍。