控制中的 LMI / pages / 切换系统 H2 优化

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切换系统 $H_{2}$ 优化

优化问题

这个优化问题涉及使用状态反馈系统设计，不同之处在于在优化过程中使用具有“切换”属性的系统矩阵来优化系统。这类似于考虑具有可变不确定性的系统；例如，矩阵$A$中的多面体不确定性。无论哪个矩阵正在切换状态，都必须使用相同的变量对两种情况进行优化。

首先，将 9 矩阵系统定义如下：$A\in \mathbb {R} ^{m\times m}$, $B_{1}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, $B_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$, $C_{1}\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $D_{11}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $D_{12}\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $C_{2}=I$, $D_{21}=0$，以及$D_{22}=0$。使用这种类型的优化允许堆叠不同的 LMI 矩阵状态，以实现 $H_{\infty }$的控制器综合。

数据

数据取决于 9 矩阵工厂的状态空间表示类型；因此，必须了解以下内容才能计算此 LMI：$A\in \mathbb {R} ^{m\times m}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{n\times p}$，$C_{2}=I$，$D_{21}=0$，以及 $D_{22}=0$。还必须考虑的是，在优化过程中哪些矩阵将被“切换”。这可以用 $A(\delta )$ 表示。

LMI： 切换系统 $H_{2}$ 优化

存在标量 $\gamma$，以及矩阵 $X>0$，$W$，以及 $Z$，其中

${\begin{aligned}||S(P,K(0,0,0,F))||_{H_{2}}^{2}\leq \gamma \\\\traceW<\gamma \\\\AX+XA^{T}+B_{2}Z+Z'B_{2}'+B_{1}B_{1}^{T}<0\\\\{\begin{bmatrix}X&(C_{1}X+D_{12}Z)^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&W\\\end{bmatrix}}&>0\\\end{aligned}}$

其中 $F=ZX^{-1}$ 为控制器矩阵。这还假设唯一切换矩阵为 $A$；然而，其他矩阵可以在状态中切换，以使控制器更具鲁棒性。

结论

来自该 LMI 的结果给出了一个控制器增益，它是对切换系统优化的 $H_{2}$ 的优化。

实施

• H2 切换状态反馈优化示例

% Switched System H2 example
% -- EXAMPLE --

clear; clc; close all;

%Given
A  = [ 1  1  0  1  0  1;
      -1 -1 -1  0  0  1;
       1  0  1 -1  1  1;
      -1  1 -1 -1  0  0;
      -1 -1  1  1  1 -1;
       0 -1  0  0 -1 -1];
  
B1 = [ 0 -1 -1;
       0  0  0;
      -1  1  1;
      -1  0  0;
       0  0  1;
      -1  1  1];

B21= [ 0  0  0;
      -1  0  1;
      -1  1  0;
       1 -1  0;
      -1  0 -1;
       0  1  1];

B22= [ 0   0   0;
      -1   0   1;
      -1   1   0;
       1   1   0;
       1   0   1;
       0  -3  -1];

C1 = [ 0  1  0 -1 -1 -1;
       0  0  0 -1  0  0;
       1  0  0  0 -1  0];

D12= [ 1    1    1;
       0    0    0;
       0.1  0.2  0.4];

D11= [ 1  2  3;
       0  0  0;
       0  0  0];
   
%Error
eta = 1E-4;

%sizes of matrices
numa  = size(A,1);    %states
numb2 = size(B21,2);  %actuators
numb1 = size(B1,2);   %external inputs
numc1 = size(C1,1);   %regulated outputs

%variables
gam = sdpvar(1);
Y   = sdpvar(numa);
Z   = sdpvar(numb2,numa,'full');
W   = sdpvar(numc1);

%Matrix for LMI optimization
M11 = Y*A'+A*Y+B21*Z+Z'*B21'+B1*B1';
M12 = Y*A'+A*Y+B22*Z+Z'*B22'+B1*B1';
M2  = [Y            (C1*Y+D12*Z)'  ;
       C1*Y+D12*Z   W              ];

%Constraints
Fc = (M11 <= 0);
Fc = [Fc; M12 <= 0];
Fc = [Fc; trace(W) <= gam];
Fc = [Fc; M2 >= zeros(numa+numc1)];

opt = sdpsettings('solver','sedumi');

%Objective function
obj = gam;

%Optimizing given constraints
optimize(Fc,obj,opt);

%Displays output Hinf gain
fprintf('\n\nHinf for H2 optimal state-feedback problem is: ')
display(value(gam))

F = value(Z)*inv(value(Y)); %#ok<MINV>

fprintf('\n\nState-Feedback controller F matrix')
display(F)

外部链接

• 最佳和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。