控制中的 LMI / pages / TDSDC

系统

问题是检查以下线性时滞系统在依赖时滞条件下的稳定性

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}x(t-d)\\x(t)&=\phi (t),t\in [-d,0],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}$

其中

${\begin{aligned}{A,A_{d}}\in \mathbb {R} ^{n\times n},A\in \mathbb {R} ^{n\times r}{\text{ are the system coefficient matrices,}}\\\end{aligned}}$

$\phi (t)$ 是初始条件
$d$ 表示时滞
${\bar {d}}$ 是 $d$ 的已知上限

为了依赖时滞系统的目的，我们将系统改写为

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}x(t-d)\\{\dot {x}}(t)&=(A+A_{d})x(t)-A_{d}(x(t)-x(t-d)\end{cases}}$

数据

矩阵 $A,A_{d}$ 是已知的

LMI： 时滞系统（依赖时滞条件）

从给定的信息可以清楚地看出，只有在存在对称正定矩阵时，优化问题才存在解
$X$ 和一个标量 $0<\beta <1$ 使得

${\begin{bmatrix}\Phi (X)&{\bar {d}}XA^{T}&{\bar {d}}XA_{d}^{T}\\{\bar {d}}AX&-d\beta I&0\\{\bar {d}}A_{d}X&0&-{\bar {d}}(1-\beta )I\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

这里 $\Phi (X)=X)A+A_{d})^{T}+(A+A_{d})X+{\bar {d}}A_{d}A_{d}^{T}<0$

这个 LMI 是从系统的 Lyapunov 函数推导出来的。 因此，如果

$P(A+A_{d})+(A+A_{d})^{T}P+{\bar {d}}PA_{d}A_{d}^{T}P+{\frac {\bar {d}}{\beta }}A^{T}A+{\frac {\bar {d}}{1-\beta }}A_{d}^{T}A_{d}<0$
这是通过用 $P^{-1}$ 代替 $X$ 得到的。

结论

现在我们可以使用这些 LMI 对时滞系统进行依赖于时滞条件的稳定性分析。

实现

可以在此处查看上述 LMI 的实现

https://github.com/yashgvd/LMI_wikibooks

相关 LMI

时滞系统（独立于时滞条件）

外部链接

• [1] - 控制系统分析、设计和应用中的 LMI
• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• D. d. S. Madeira 和 J. Adamy，“静态输出反馈：基于被动性指标的稳定性 LMI 条件”，2016 年 IEEE 控制应用会议 (CCA)，布宜诺斯艾利斯，2016 年，第 960-965 页。