控制中的 LMI/pages/TDSIC

系统

问题是检查以下线性时滞系统的稳定性

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}x(t-d)\\x(t)&=\phi (t),t\in [-d,0],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}{A,A_{d}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}{\text{, }}{A}\in \mathbb {R} ^{n\times r}{\text{ 是系统系数矩阵，}}\\\end{aligned}}

$\phi (t)$ 是初始条件
$d$ 代表时滞
${\bar {d}}$ 是 $d$ 的已知上限

矩阵 $A,A_{d}$ 是已知的

从给定的信息中可以清楚地看到，只有当存在两个对称矩阵 $P,S\in \mathbb {S} ^{n}$ 时，优化问题才存在解

$P>0$

{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+S&PA_{d}\\A_{d}^{T}P&-S\end{bmatrix}}

{\begin{aligned}<0\end{aligned}}

该 LMI 是从系统的 Lyapunov 函数推导出来的。通过 Schur 补，我们可以看到上述矩阵不等式等价于 Riccati 不等式
$A^{T}P+PA+PA_{d}S^{-1}A_{d}^{T}P+S<0$

现在我们可以使用这些 LMI 对时滞系统进行稳定性分析，前提是时滞无关。

上面 LMI 的实现可以在以下链接找到：

[1] - 控制系统分析、设计和应用中的 LMI
控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 提供的关于控制中 LMI 的课程。
LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 提供的 LMI 列表。
D. d. S. Madeira 和 J. Adamy，“静态输出反馈：基于被动指数的稳定性 LMI 条件”，2016 年 IEEE 控制应用大会 (CCA)，布宜诺斯艾利斯，2016 年，第 960-965 页。