控制中的LMI/pages/不饱和输入稳定化

具有非对称饱和控制的系统的稳定性条件的LMI

本页中的LMI 给出了可行性条件，如果满足这些条件，则意味着相应的系统可以稳定。

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+BSat(u(t)),\\x(0)&=x_{0},\\Sat(u)_{i}=,\end{aligned}}

其中 $x\in \|R^{n}$ 是状态， $u\in \|R^{m}$ 是控制输入。

对于上面给出的系统，其对称饱和控制形式可以通过遵循原始文章中的程序推导出。新系统将具有以下形式

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+{\tilde {B}}sat(z(t))+Ew\end{aligned}}

其中 $w_{i}=u_{i}-{\frac {\alpha _{i}-\beta _{i}}{2}},z_{i}=w_{i}{\frac {2}{\alpha _{i}+\beta _{i}}}$

系统矩阵 $(A,{\tilde {B}},E)$ ，控制输入的饱和界限 $(\alpha _{i},\beta _{i})$ 。正标量 $\rho ,\eta$ 。

{\begin{aligned}&{\text{Find}}\;X,Y,Z:\\&{\text{subj. to: }}X>0,\\&\quad {\begin{bmatrix}AX+{\tilde {B}}(D_{s}Y+{\hat {D}}_{s}^{-}Z)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}AX+{\tilde {B}}(D_{s}Y+{\hat {D}}_{s}^{-}Z)\end{bmatrix}}^{\top }+{\frac {\eta }{\rho }}X+{\frac {1}{\eta }}EE^{\top }<0,\\{\begin{bmatrix}\mu &Z_{i}\\*X\end{bmatrix}}>0,i=1,...,{\bar {m}}\end{aligned}}

这里 $D_{s}$ 是一个对角矩阵，其元素要么是 0 要么是 1，以及 $D_{s}+D_{s}^{-}={\frac {\Lambda +\mathrm {T} }{2}}$ 以及 ${\hat {D}}_{s}^{-}=e_{f_{m}}\times D_{s}^{-}$

给定 LMI 的可行性意味着该系统可以通过控制增益 $K=YX^{-1},H=ZX^{-1}$ 进行稳定。

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