控制中的 LMI / 页面 / 全阶 H 无限 H2 状态观测器

进行中，描述正在进行中

在本节中，我们处理为系统设计全阶状态观测器的问题，使得扰动 $w(t)$ 对估计误差的影响被禁止到所需的水平。

系统设置

该系统如下

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t),x(0)=x_{0},$

$y(t)=C_{1}x(t)+D_{1}u(t)+D_{2}w(t),$

$z(t)=C_{2}x(t),$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{l},\ z\in \mathbb {R} ^{m}$ 分别是状态向量、测量输出向量和感兴趣的输出向量。

$w\in \mathbb {R} ^{p}$ 分别是扰动向量和控制向量。

$A,\ B_{1},\ B_{2},\ C_{1},\ C_{2},\ D_{1},{\text{ and }}D_{2}$ 是适当维度的系统系数矩阵。

问题表述

对于该系统，我们以以下形式引入全阶状态观测器

${\dot {\hat {x}}}=(A+LC_{1}){\hat {x}}-Ly+(B_{1}+LD_{1})u$

其中 ${\hat {x}}$ 是状态观测向量，$L\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ 是观测器增益。显然，感兴趣的输出的估计由下式给出

${\hat {z}}(t)=C_{2}{\hat {x}}(t)$

希望它尽可能少地受到扰动 $w(t)$ 的影响。

使用系统动力学，

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)\\&=Ax(t)+Ly-Ly+B_{1}u(t)+B_{2}w(t)\\&=(A+LC_{1})x(t)-Ly(t)+(B_{1}+LD_{1})u(t)+(B_{2}+LD_{2})w(t)\end{aligned}}$

表示

${\dot {e}}=(A+LC_{1})e+(B_{2}+LD_{2})w$

${\tilde {z}}(t)=C_{2}e$.

该系统的传递函数很明显地由以下公式给出

$G_{{\tilde {z}}w}(s)=C_{2}(sI-A-LC_{1})^{-1}(B_{2}+LD_{2})$.

有了上述准备，${\mathcal {H}}_{\infty }{\text{ and }}{\mathcal {H}}_{2}$ 状态观测器设计可以表述如下。

问题 1

(${\mathcal {H}}_{\infty }$ 状态观测器) 给定系统 (9.22) 和一个正标量 $\gamma$，求一个矩阵 $L$ 使得

$||G_{{\tilde {z}}w}(s)||_{\infty }<\gamma$.

问题 2

(${\mathcal {H}}_{2}$ 状态观测器) 给定系统 (9.22) 和一个正标量 $\gamma$，找到一个矩阵 $L$ 使得

$||G_{{\tilde {z}}w}(s)||_{2}<\gamma$

由于先前问题中的要求，误差系统渐近稳定，因此我们有

$e(t)=x(t)-{\hat {x}}(t)\rightarrow 0,{\text{ as }}t\rightarrow \ \infty$

这表明 ${\hat {x}}(t)$ 是 $x(t)$ 的渐近估计。

解决方案/定理

关于 H∞ 状态观测器设计问题的解决方案，我们有以下定理。

定理 1

该 ${\mathcal {H}}_{\infty }$ 状态观测器问题 1 有解当且仅当存在一个矩阵 $W$ 和一个对称正定矩阵 $P$ 使得

${\begin{bmatrix}A^{T}P+C_{1}^{T}W^{T}+PA+WC_{1}&PB_{2}+WD_{2}&C_{2}^{T}\\(PB_{2}+WD_{2})^{T}&-\gamma I&0\\C_{2}&0&-\gamma I\end{bmatrix}}<0$

当找到这样一对矩阵 W 和 P 时，问题的解给出为

$L=P^{-1}W$

在给定衰减水平的情况下，H∞ 状态观测器设计问题转化为之前提到的 LMI 可行性问题形式。具有最小衰减水平的问题 $\gamma$ 可以通过以下优化问题寻求

min $\gamma$

使得 ${\begin{aligned}P&>0\\{\begin{bmatrix}A^{T}P+C_{1}^{T}W^{T}+PA+WC_{1}&PB_{2}+WD_{2}&C_{2}^{T}\\(PB_{2}+WD_{2})^{T}&-\gamma I&0\\C_{2}&0&-\gamma I\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

定理 2

当 ${\mathcal {H}}_{2}$ 状态观测器问题 2 有解时，以下两个结论成立。

1. 当且仅当存在矩阵 W，对称矩阵 Q 和对称矩阵 X，使得

${\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}<0$,

${\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}<0$,

${\text{trace}}(Q)<\gamma ^{2}$.

当获得这样的矩阵三元组时，问题的解可以表示为

$L=X^{-1}W$.

2. 当且仅当存在矩阵 V，对称矩阵 Z 和对称矩阵 Y，使得

$A^{T}Y+C_{1}^{T}V^{T}+YA+VC_{1}+C_{2}^{T}C_{2}<0$,

${\begin{bmatrix}-Z&(YB_{2}+VD_{2})^{T}\\YB_{2}+VD_{2}&-Y\end{bmatrix}}<0$,

迹 $(Z)<\gamma ^{2}$.

当获得这样的矩阵三元组时，问题的解可以表示为

$L=Y^{-1}V$.

在实际应用中，我们通常关注的是找到最小衰减水平 $\gamma$ 的问题。这个问题可以通过以下优化问题解决：

最小化 $\rho$

使得 ${\begin{bmatrix}XA+WC_{1}+(XA+WC_{1})^{T}&XB_{2}+WD_{2}\\(XB_{2}+WD_{2})^{T}&-I\end{bmatrix}}<0$,

${\begin{bmatrix}-Q&C_{2}\\C_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}<0$,

${\text{trace}}(Q)<\gamma ^{2}$,

或者

最小化 $\rho$

$A^{T}Y+C_{1}^{T}V^{T}+YA+VC_{1}+C_{2}^{T}C_{2}<0$

${\begin{bmatrix}-Z&(YB_{2}+VD_{2})^{T}\\YB_{2}+VD_{2}&-Y\end{bmatrix}}<0$

迹 $(Z)<\gamma ^{2}$

当获得最小ρ时，最小衰减水平为 $\gamma ={\sqrt {\rho }}$.

正在进行，将添加其他参考

外部链接

记录和验证LMI的参考文献列表。